Разработка модели синхронного генератора для анализа витковых замыканий в обмотке статора

Page 1
background image

Page 2
background image

94

Разработка модели 
синхронного генератора 
для анализа витковых 
замыканий в обмотке 
статора

УДК

 621.313.333

Глазырин

 

Г

.

В

.,

к

.

т

.

н

., 

доцент

 

кафедры

 

ЭС

 

НГТУ

Митрофанов

 

Н

.

А

.,

аспирант

 

кафедры

 

ЭС

 

НГТУ

Ключевые

 

слова

:

витковые

 

короткие

 

за

-

мыкания

, c

инхронная

 

машина

переходной

 

процесс

электроэнер

-

гетическая

 

система

дифференциальные

 

уравнения

численный

 

метод

Keywords:

inter-winding fault, 
synchronous machine, 
transient process, electric 
power system, differential 
equations, numerical 
method

Рассматриваются

 

переходные

 

процессы

 

в

 

автономной

 

энерго

-

системе

состоящей

 

из

 

синхронного

 

генератора

повышающего

 

трансформатора

 

и

 

активно

-

индуктивной

 

нагрузки

Предложен

 

метод

 

численного

 

моделирования

 

переходных

 

процессов

 

син

-

хронной

 

машины

 

с

 

возможностью

 

учета

 

несимметрии

 

обмот

-

ки

 

статора

появление

 

которой

 

возможно

 

при

 

повреждении

 

синхронной

 

машины

в

 

частности

при

 

межвитковых

 

коротких

 

замыканиях

 

в

 

обмотке

 

статора

Метод

 

основан

 

на

 

непосред

-

ственном

 

решении

 

дифференциальных

 

уравнений

 

равновесия

 

э

.

д

.

с

и

 

падений

 

напряжений

 

в

 

обмотках

 

в

 

фазных

 

координатах

 

совместно

 

с

 

уравнением

 

движения

 

ротора

При

 

этом

 

контур

 

каждой

 

фазной

 

обмотки

 

статора

 

описывается

 

отдельным

 

урав

-

нением

и

 

могут

 

быть

 

учтены

 

отличающиеся

 

параметры

 

фаз

.

Выполнен

 

анализ

 

чувствительности

 

релейной

 

защиты

 

гене

-

ратора

 

к

 

межвитковым

 

коротким

 

замыканиям

 

на

 

примере

 

результатов

 

расчета

 

в

 

предложенной

 

математической

 

модели

 

переходных

 

процессов

 

в

 

генераторе

 

с

 

нарушением

 

симметрии

 

обмотки

 

статора

.  

В

 

результате

 

исследований

 

выявлено

,

что

 

работа

 

синхронной

 

машины

 

при

 

повреждении

 

обмотки

статора

сопровождающимся

 

малой

 

долей

 

замкнувшихся

витков

 (3–15% 

от

 

общего

 

количества

), 

с

 

большой

 

вероятностью

 

останется

 

вне

 

зоны

 

действия

 

защит

 

генератора

.

р

е

л

е

й

н

а

я

 з

а

щ

и

та

 и

 а

в

т

о

м

а

т

и

к

а

релейная защит

а и автома

тика

ВВЕДЕНИЕ

Одним

 

из

 

самых

 

значимых

 

и

 

сложных

 

объектов

 

в

 

электроэнергетике

которому

 

всегда

 

уделяется

 

при

-

стальное

 

внимание

 

при

 

его

 

защите

 

и

 

диагностике

предотвращающей

 

ненормальные

 

и

 

аварийные

 

режи

-

мы

 

работы

является

 

синхронный

 

генератор

К

 

релей

-

ной

 

защите

 

генератора

ввиду

 

сложности

 

переходных

 

процессов

проходящих

 

в

 

нем

предъявляются

 

осо

-

бые

 

требования

 

по

 

надежности

 

и

 

чувствительности

Но

 

далеко

 

не

 

все

 

отклонения

 

от

 

режимных

 

пара

-

метров

 

возможно

 

выявить

 

простыми

наглядными

 

алгоритмами

 

и

 

точной

 

измерительной

 

системой

 

за

-

щиты

Некоторые

 

параметры

 

можно

 

получить

 

только

 

косвенными

 

методами

 

измерения

К

 

одному

 

из

 

таких

 

режимов

 

работы

 

можно

 

отнести

 

несимметрию

 

фазных

 

обмоток

 

статора

вызванную

 

наличием

 

витковых

 

замыканий

 

в

 

одной

 

из

 

них

Вит

-

ковые

 

замыкания

 

в

 

обмотке

 

статора

 

генератора

 

не

 

сопровождаются

 

значительными

 

отклонениями

 

пара

-

метров

регистрируемых

 

релейной

 

защитой

По

 

этой

 

причине

 

стандартный

 

подход

 

к

 

решению

 

данной

 

проблемы

 

не

 

приносит

 

желаемого

 

результата


Page 3
background image

95

то

 

есть

 

защита

 

не

 

обладает

 

требу

-

емой

 

чувствительностью

 

к

 

такому

 

виду

 

повреждений

Но

 

пренебре

-

жение

 

таким

 

режимом

 

работы

 

ге

-

нератора

 

при

 

отсутствии

 

ранней

 

диагностики

 

данного

 

повреждения

 

может

 

в

 

значительной

 

степени

 

усу

-

губить

 

его

 

последствия

Речь

 

идет

 

о

 

возможном

 

развитии

 

аварии

 

и

 

переходе

 

межвитковых

 

замыка

-

ний

 

в

 

замыкания

 

на

 

корпус

 

маши

-

ны

междуфазных

 

КЗ

В

 

таких

 

слу

-

чаях

 

ущерб

 

от

 

аварии

 

возрастает

 

в

 

десятки

 

раз

 

и

что

 

более

 

важно

сопровождается

 

несчастными

 

слу

-

чаями

 

на

 

производстве

Для

 

защиты

 

от

 

витковых

 

за

-

мыканий

 

на

 

генераторах

 

большой

 

мощности

 

применяют

 

специаль

-

ную

 

поперечную

 

дифференциаль

-

ную

 

защиту

Принцип

 

действия

 

ее

 

основан

 

на

 

сравнении

 

геометри

-

ческой

 

суммы

 

токов

 

в

 

параллель

-

ных

 

ветвях

 

фаз

 

обмотки

 

статора

 

генератора

В

 

нормальном

 

режиме

 

и

 

при

 

внешнем

 

коротком

 

замыка

-

нии

 

геометрическая

 

сумма

 

токов

 

каждой

 

группы

 

параллельных

 

вет

-

вей

 

фаз

соединенных

 

в

 

звезду

равна

 

нулю

 

и

 

в

 

защиту

 

попадает

 

только

 

ток

 

небаланса

Отсюда

 

следует

 

первый

 

недостаток

 

защи

-

ты

 — 

необходимость

 

отстройки

 

от

 

тока

 

небаланса

в

 

результате

 

ток

 

срабатывания

 

защиты

 

принимает

-

ся

 

на

 

уровне

 (0,2÷0,3) · 

I

ном

Иными

 

словами

защита

 

имеет

  «

мертвую

 

зону

» 

и

 

при

 

малой

 

доле

 

замкнув

-

шихся

 

витков

 

не

 

будет

 

обладать

 

достаточной

 

чувствительностью

 

для

 

срабатывания

Второй

 

недо

-

статок

 

описываемой

 

защиты

 

кроет

-

ся

 

в

 

принципе

 

ее

 

работы

а

 

именно

 

в

 

невозможности

 

ее

 

использова

-

ния

 

в

 

генераторах

обмотка

 

стато

-

ра

 

которых

 

не

 

расщеплена

Таким

 

образом

 

поперечная

 

дифферен

-

циальная

 

защита

 

применяется

 

лишь

 

в

 

части

 

синхронных

 

машин

в

 

то

 

время

 

как

 

значительное

 

число

 

генераторов

 

остается

 

вовсе

 

без

 

за

-

щиты

 

от

 

витковых

 

замыканий

.

Поэтому

 

ранняя

 

диагностика

 

и

 

выявление

 

витковых

 

замыканий

 

в

 

синхронном

 

генераторе

 

является

 

весьма

 

актуальной

 

задачей

кото

-

рой

 

посвящается

 

настоящее

 

ис

-

следование

Аналитическое

 

исследование

 

электромагнитных

 

и

 

электромеха

-

нических

 

переходных

 

процессов

 

в

 

синхронной

 

машине

 

с

 

учетом

 

всех

 

влияющих

 

факторов

 

является

 

весьма

 

сложной

 

задачей

В

 

связи

 

с

 

чем

 

для

 

упрощения

 

расчета

 

при

-

ходится

 

делать

 

ряд

 

допущений

которые

 

вносят

 

некоторые

 

погреш

-

ности

 

в

 

оценку

 

рассматриваемых

 

параметров

 

синхронной

 

машины

К

 

основным

 

допущениям

приме

-

няемым

 

в

 

практических

 

методах

 

расчета

можно

 

отнести

 

следую

-

щие

 [1]:

 

магнитная

 

система

 

машины

 

не

 

насыщена

в

 

результате

 

чего

 

ин

-

дуктивности

 

машины

 

не

 

зави

-

сят

 

от

 

намагничивающей

 

силы

;

 

вместо

 

действительных

 

кри

-

вых

 

распределения

 

магнитной

 

индукции

 

в

 

воздушном

 

зазоре

 

по

 

расточке

 

статора

 

учитыва

-

ются

 

только

 

их

 

составляющие

 

первой

 

гармоники

;

 

в

 

магнитной

 

системе

 

машины

 

отсутствуют

 

какие

-

либо

 

потери

.

Существующие

 

программные

 

пакеты

 

моделирования

 

пере

-

ходных

 

процессов

 

в

 

электро

-

энергетических

 

системах

такие

 

как

 MATLAB Simulink [2], PSCAD, 

Mustang, 

используют

 

для

 

описания

 

электромагнитных

 

процессов

 

син

-

хронной

 

машины

 

уравнения

 

Пар

-

ка

-

Горева

 [1], 

которые

 

записыва

-

ются

 

в

 

неподвижной

 

относительно

 

ротора

 

системе

 

координат

 

и

 

пред

-

полагают

 

полную

 

симметрию

 

фаз

-

ных

 

обмоток

 

статора

Очевидно

Рис

. 1. 

Схема

 

подключения

 

нагрузки

 

a

b

c

i

a.2

i

b.2

i

c.2

R

a.ng2

R

b.ng2

R

c.ng2

Г

a

b

c

i

a.1

i

ab.1

i

ca.1

i

bc.1

a

b

c

L

ca.T1

R

ca.T1

R

ab.T1

L

ab.T1

L

bc.T1

R

bc.T1

i

b.1

i

c.1

0

R

a.T2

R

b.T2

R

c.T2

L

a.T2

L

b.T2

L

c.T2

L

a.ng2

L

b.ng2

L

c.ng2

M

b

M

a

M

c

что

 

такой

 

метод

 

моделирования

 

не

 

может

 

быть

 

применен

 

для

 

расчета

 

процессов

 

в

 

поврежденной

 

син

-

хронной

 

машине

 

с

 

отличающими

-

ся

 

параметрами

 

фазных

 

обмоток

В

 

статье

 

приведен

 

вывод

 

си

-

стемы

 

дифференциальных

 

урав

-

нений

описывающих

 

переходные

 

процессы

 

трехфазной

 

синхронной

 

машины

 

с

 

учетом

 

индивидуальных

 

активных

 

сопротивлений

 

и

 

индук

-

тивностей

 

обмоток

Выполнено

 

мо

-

делирование

 

работы

 

синхронной

 

машины

 

при

 

различных

 

сценариях

 

витковых

 

замыканий

После

 

чего

 

произведена

 

оценка

 

чувствитель

-

ности

 

к

 

витковым

 

замыканиям

 

стандартных

 

измерительных

 

орга

-

нов

 

защит

реагирующих

 

на

 

откло

-

нения

 

по

 

току

.

МОДЕЛЬ

 

АВТОНОМНОЙ

 

СИСТЕМЫ

Наиболее

 

простая

 

результирую

-

щая

 

система

 

дифференциальных

 

уравнений

 

получается

 

в

 

случае

 

подключения

 

нагрузки

 

по

 

схеме

 

«

звезда

» 

с

 

нулевым

 

проводом

не

 

имеющим

 

сопротивления

 [3]: 

до

-

статочно

 

выполнить

 

замену

 

u

 

на

 

L

нг

.

(

di

/

dt

) + 

R

нг

.

i



в

 

уравнении

 (1).

Фактически

 

схемы

 

выдачи

 

мощности

 

электростанций

 

пред

-

усматривают

 

работу

 

генераторов

 

с

 

изолированной

 

нейтралью

  (

без

 

нулевого

 

провода

). 

Как

 

правило

генератор

 

подключается

 

к

 

обмот

-

ке

 

повышающего

 

трансформато

-

ра

соединенной

 

в

  «

треугольник

». 

Для

 

точного

 

расчета

 

переходных

 

процессов

 

в

 

таких

 

схемах

 

необхо

-

димо

 

моделирование

 

как

 

генера

-

тора

так

 

и

 

трансформатора

что

 

рассматривается

 

в

 

статье

Схема

 

представлена

 

на

 

рисунке

 1.

Стоит

 

отметить

что

 

в

 

ис

-

следовании

 

учтены

 

только

 

три

 

взаимные

 

индуктивности

 

между

 

первичными

 

и

 

вторичными

 

обмот

-

 6 (51) 2018


Page 4
background image

96

ками

 

трансформатора

Взаимные

 

индуктивности

 

между

 

фазами

 

приняты

 

равными

 

нулю

что

 

со

-

ответствует

 

группе

 

однофазных

 

трансформаторов

.

Рассматривалась

 

синхронная

 

машина

 

с

 

одним

 

продольным

 

и

 

одним

 

поперечным

 

демпферны

-

ми

 

контурами

эффект

 

вытесне

-

ния

 

токов

 

не

 

учитывался

Совер

-

шенствованию

 

методов

 

расчета

 

синхронной

 

машины

 

при

 

учете

 

ротора

 

машины

 

многоконтурными

 

схемами

 

активно

 

занимается

 [4]. 

В

 

рамках

 

же

 

поставленных

 

в

 

ис

-

следовании

 

задач

 

пренебрежение

 

не

 

приведет

 

к

 

потере

 

точности

 

и

 

недостоверным

 

результатам

Также

 

на

 

данном

 

этапе

 

ис

-

следования

 

не

 

учитывалось

 

на

-

сыщение

 

магнитной

 

системы

 

машины

ввиду

 

сложности

 

полу

-

чаемой

 

системы

 

уравнений

так

 

как

 

в

 

процессе

 

следует

 

учитывать

 

насыщение

 

магнитной

 

системы

 

повышающего

 

трансформатора

Подробно

 

вопрос

 

влияния

 

насы

-

щения

 

магнитной

 

системы

 

на

 

ве

-

личину

 

синхронного

 

индуктивного

 

сопротивления

 

изложен

 

в

 [5].

ИСХОДНЫЕ

 

УРАВНЕНИЯ

ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ

 

РАБОТУ

 

СИСТЕМЫ

Рассмотрим

 

синхронную

 

машину

имеющую

 

три

 

фазных

 

обмотки

контур

 

возбуждения

а

 

также

 

одну

 

продольную

 

и

 

одну

 

поперечную

 

демпферные

 

обмотки

.

Обозначим

 

через

 

u

 (

 = 

a

b

c

и

 

u

f

 

мгновенные

 

значения

 

напря

-

жений

 

на

 

фазных

 

обмотках

 

и

 

об

-

мотке

 

возбуждения

 

соответствен

-

но

i

 

и

 

i

f

 — 

мгновенные

 

значения

 

токов

 

и

 

f

 — 

результирую

-

щие

 

потокосцепления

 

обмоток

R

 

и

 

R

f

 — 

активные

 

сопротивле

-

ния

 

фазных

 

обмоток

 

и

 

обмотки

 

возбуждения

Тогда

 

дифферен

-

циальные

 

уравнения

 

равнове

-

сия

 

э

.

д

.

с

и

 

падений

 

напряжений

 

в

 

контурах

 

синхронной

 

машины

 

будут

 

иметь

 

вид

 [3]:

 

(

, , );

.

f

f

f f

d

u

R i

a b c

dt

d

u

R i

dt

η

η

η η

ψ

η

ψ

= −

=

⎪⎪

=

+

⎪⎩

 

(1)

Кроме

 

того

систему

 

диффе

-

ренциальных

 

уравнений

 (1) 

следу

-

ет

 

дополнить

 

уравнениями

 

равно

-

весия

 

э

.

д

.

с

и

 

падений

 

напряжений

 

в

 

демпферных

 

контурах

:

РЕЛЕЙНАЯ ЗАЩИТА

И АВТОМАТИКА

 

у

у

у

у

у

у

0

;

0

,

d

d

d

q

q

q

d

R i

dt

d

R i

dt

ψ

ψ

= −

⎪⎪

⎪ = −

⎪⎩

 

(2)

где

 

yd

 

и

 

yq

  — 

результирующие

 

потокосцепления

 

продольной

 

и

 

попереч

-

ной

 

демпферных

 

обмоток

 

соответственно

R

yd

 

и

 

R

yq

 — 

их

 

активные

 

сопро

-

тивления

i

yd

 

и

 

i

yq

 — 

мгновенные

 

значения

 

токов

 

в

 

демпферных

 

контурах

.

Предлагаемый

 

метод

 

расчета

 

переходных

 

процессов

 

основан

 

на

 

совместном

 

решении

 

уравнений

 (1) 

и

 (2), 

дополненных

 

выражениями

 

падений

 

напряжений

 

на

 

сопротивлениях

 

трансформатора

 

и

 

нагрузки

Такой

 

подход

 

делает

 

возможным

 

моделирование

 

синхронной

 

машины

 

с

 

различными

 

параметрами

 

фазных

 

обмоток

 

за

 

счет

 

описания

 

электро

-

магнитных

 

процессов

 

в

 

каждой

 

фазе

 

отдельным

 

дифференциальным

 

уравнением

ВЫВОД

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

 

УРАВНЕНИЙ

 

ДЛЯ

 

ИССЛЕДУЕМОЙ

 

АВТОНОМНОЙ

 

СИСТЕМЫ

При

 

расчете

 

переходных

 

процессов

 

синхронной

 

машины

работающей

 

на

 

автономную

 

активно

-

индуктивную

 

нагрузку

необходимо

 

определить

 

уравнения

 

равновесия

 

э

.

д

.

с

и

 

падений

 

напряжений

 

в

 

контурах

 

син

-

хронной

 

машины

 

в

 

блоке

 

с

 

повышающим

 

трансформатором

 (1):

(

)

(

)

.2

.2

.1

.1

.1

.1

.1

.1

.1

.2

.1

.1

.2

.2

;

cng

cT

bc

cT

bc

bcT

bcT

bc T

cT

c

bcT

bc

c

c

R

R

di

M

di

u

L

L

M

i

R

i

dt

L

dt

L

σ

+

=

+

+

(

)

(

)

.2

.2

.1

.1

.1

.1

.1

.1

.1

.2

.1

.1

.2

.2

;

bng

bT

ab

bT

ab

abT

abT

ab T

bT

b

abT

ab

b

b

R

R

di

M

di

u

L

L

M

i

R

i

dt

L

dt

L

σ

+

=

+

+

⎪⎪

caT

u

(

)

(

)

.2

.2

.1

.1

.1

.1

.1

.1

.1

.2

.1

.1

.2

.2

,

ang

aT

ca

aT

ca

caT

ca T

aT

a

caT

ca

a

a

R

R

di

M

di

L

L

M

i

R

i

dt

L

dt

L

σ

+

=

+

+

 

(3)

где

 

L

kT

.1

, (

k

 = 

ab

bc

ca

) — 

собственное

 

значение

 

индуктивности

 

первич

-

ной

 

обмотки

 

трансформатора

обусловленное

 

основным

 

магнитным

 

по

-

током

 

и

 

потоком

 

рассеяния

 

соответственно

M

T

 (

 = 

a

b

c

)  — 

взаимная

 

индуктивность

 

обмоток

 

трансформатора

L



.2

 = 

L

ng

.2

 + 

L

T

.2

 + 

L



T

.2 

суммарное

 

значение

 

индуктивностей

 

на

 

вторичной

 

стороне

 

системы

R

ng

.2

 — 

активное

 

сопротивление

 

нагрузки

R

kT

.1

R

kT

.2

 — 

активное

 

со

-

противление

 

первичной

 

и

 

вторичной

 

обмотки

 

трансформатора

u

kT

.1

 — 

мгновенные

 

значения

 

линейных

 

напряжений

 

на

 

первичной

 

обмотке

 

трансформатора

ij

 = 

i

 – 

j

.

При

 

расчете

 

переходных

 

процессов

 

синхронной

 

машины

работаю

-

щей

 

на

 

автономную

 

активно

-

индуктивную

 

нагрузку

дифференциаль

-

ные

 

уравнения

 

принимают

 

вид

:

 

(

)

(

)

(

)

.1

.

.

.

.

.1

.

.

.

.

.1

.

.

.

.

;

;

;

ab

abT

g a

g b

ab

g a ca

g b bc

bc

bcT

g b

g c

bc

g b ab

g c ca

ca

caT

g c

g a

ca

g c bc

g a ab

d

u

R

R

i

R i

R i

dt

d

u

R

R

i

R i

R i

dt

d

u

R

R

i

R i

R i

dt

ψ

ψ

ψ

= −

+

= −

+

= −

+

у

у

у

у

у

у

;

;

,

f

f

f f

d

d

d

q

q

q

d

u

R i

dt

d

R i

dt

d

R i

dt

ψ

ψ

ψ

=

= −

= −

 

(4)

где

 

R

g

.

 (

 = 

a

b

c

) — 

активное

 

сопротивление

 

контура

 

фазной

 

обмотки

 

генератора

Для

 

упрощения

 

восприятия

 

условно

 

примем

 

замену

 

переменных

L

k

 

(

k

 = 

ab

bc

ca

) — 

суммарные

 

собственные

 

индуктивности

 

контуров

M

k.e

 — 

эквивалентные

 

взаимные

 

индуктивности

 

контуров

u

k

 — 

мгновенные

 

значения

 

падений

 

напряжения

 

на

 

активных

 

сопротивлениях

 

контуров

:


Page 5
background image

97

2

.1

.1

.1

.2

2

.1

.1

.1

.2

2

.1

.1

.1

.2

2

;

2

;

2

;

bT

ab

a

b

ab

abT

ab T

b

cT

bc

b

c

bc

bcT

bc T

c

aT

ca

c

a

ca

caT

ca T

a

M

L

L

L

M

L

L

L

M

L

L

L

M

L

L

L

M

L

L

L

M

L

L

L

σ

σ

σ

Σ

Σ

Σ

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

.

.

;

ab e

bc

ab

ca

b

bc e

bc

ca

ab

c

M

M

M

M

L

M

M

M

M

L

=

+

=

+

.

;

ca e

ca

ab

bc

a

M

M

M

M

L

=

+

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

.2

.2

.1

.2

.

.

.1

.

.

.2

.2

.2

.1

.2

.

.

.1

.

.

.2

.2

.2

.1

.2

.

.

.1

.

.

.2

;

;

bng

bT

ab

bT

b

g a

g b

ab

ab

g a ca

g b bc

b

cng

cT

bc

cT

c

g b

g c

bc

bc

g b ab

g c ca

c

ang

aT

ca

aT

a

g c

g a

ca

ca

g c bc

g a

a

R

R

u

M

i

R

R

R

i

R i

R i

L

R

R

u

M

i

R

R

R

i

R i

R i

L

R

R

u

M

i

R

R

R

i

R i

R

L

+

= −

+

+

+

+

+

= −

+

+

+

+

+

= −

+

+

+

+

.

ab

i

  

(5)

Коэффициенты

 

пропорциональности

 

L

a

L

b

L

c

L

f

L

yd

L

yq

 

есть

 

соб

-

ственные

 

индуктивности

 

фазных

 

обмоток

обмотки

 

возбуждения

про

-

дольной

 

и

 

поперечной

 

демпферных

 

обмоток

 

соответственно

симво

-

лом

 

M

 

обозначены

 

взаимные

 

индуктивности

 

обмоток

Как

 

определяются

 

эти

 

коэффициенты

подробно

 

раскрыто

 

в

 [6], 

и

 

останавливаться

 

на

 

их

 

рассмотрении

 

не

 

имеет

 

смысла

Стоит

 

лишь

 

отметить

что

 

большин

-

ство

 

индуктивностей

входящих

 

в

 

выражение

 (5), 

являются

 

функциями

 

угла

 

поворота

 

ротора

 

.

Решение

 

системы

 

уравнений

 (1) 

включает

 

в

 

себя

 

определение

 

про

-

изводной

 

d

/

dt

   

от

 

сложной

 

функции

зависящей

 

от

 

токов

 

в

 

контурах

 

и

 

угла

 

поворота

 

ротора

Для

 

этого

 

к

 

системе

 (2) 

применим

 

следующую

 

формулу

 

производной

 

сложной

 

функции

:

 

+

=

m

m

m

m

k

k

dt

di

i

dt

d

dt

d

ψ

γ

γ

ψ

ψ

, (

k

 = 

ab

bc

ca

)

и

 

подставим

 

полученные

 

выражения

 

в

 (1). 

Так

 

как

 

процесс

 

определения

 

производных

 

для

 

разных

 

контуров

 

однотипен

рассмотрим

 

лишь

 

одно

 

уравнение

 

для

 

контура

 «

ab

» 

статора

:

 

(

)

.

.

.

.

f

ab

ab

ab

bc

ca

ab e

ab e

ca e

af

bf

di

d

di

di

di

L

M

M

M

M

dt

dt

dt

dt

dt

ψ

ψ

ω

γ

=

+

+

+

+

+

(

)

(

)

у

у

n.

.

d

q

ab

ayd

byd

ayq

byq

ab

ab

di

di

di

M

M

M

M

L

u

dt

dt

dt

+

+

= −

 

(6)

Уравнения

 

для

 

остальных

 

контуров

 

могут

 

быть

 

получены

 

тем

 

же

 

способом

Частную

 

производную

 

потокосцепления

 

по

 

углу

входящую

 

в

 (6), 

вы

-

разим

 

следующим

 

образом

:

 

(

)

.

.

.

.

af

bf

ab

ab e

ab e

ca e

ab

bc

ca

f

d M

M

dL

dM

dM

i

i

i

i

d

d

d

d

ψ

γ

γ

γ

γ

γ

=

+

+

+

+

(

)

(

)

у

у

.

ayd

byd

ayq

byq

d

q

d M

M

d M

M

i

i

d

d

γ

γ

+

+

 

(7)

Выведенные

 

в

 (6) 

производные

 

индуктивностей

 

по

 

углу

 

можно

 

опре

-

делить

зная

 

исходные

 

выражения

 

индуктивностей

полученные

 

в

 [6].

В

 

результате

 

подстановки

 (7) 

в

 (6) 

получим

 

уравнение

связывающее

 

функции

 

времени

 — 

токи

 

в

 

обмотках

 

и

 

угол

 

поворота

 

ротора

 — 

и

 

произ

-

водные

 

этих

 

функций

.

При

 

рассмотрении

 

всех

 

контуров

 

синхронной

 

машины

 

вместо

 

од

-

ного

 

уравнения

 (6) 

получим

 

следующую

 

систему

 

уравнений

 

в

 

матрич

-

ном

 

виде

:

.

.

.

у

у

.

.

.

у

у

.

.

у

у

у

у

у

у

у

у

у

у

у

у

у

0

0

0

0

ab

ab e

ca e

abf

ab d

ab q

ab

ab e

bc

bc e

bcf

bc d

bc q

bc

ca e

bc e

ca

caf

ca d

ca q

ca

abf

bcf

caf

f

f d

f

ab d

bc d

ca d

f d

d

d

ab q

bc q

ca q

q

L

M

M

M

M

M

di

dt

M

L

M

M

M

M

di

dt

M

M

L

M

M

M

di

dt

M

M

M

L

M

di

dt

M

M

M

M

L

di

dt

M

M

M

L

di

Σ

Σ

Σ

у

у

у

у

у

у

у

(

)

(

)

(

)

,

(

)

(

)

(

)

ab

ab

bc

ca

сa

f

f f

f

d

d

d

q

q

q

q

u

u

u

R i

u

R i

dt

R i

ψ

γ ω

ψ

γ ω

ψ

γ ω

ψ

γ ω

ψ

γ ω

ψ

γ ω

− ∂

+

⎤ ⎡

⎥ ⎢

− ∂

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

− ∂

+

=

⎥ ⎢

− ∂

+

⎥ ⎢

⎥ ⎢

− ∂

⎥ ⎢

− ∂

⎥ ⎢

⎦ ⎣

 

(8)

где

 

M

kf

M

yd

M

yq

  (

k

 = 

ab

bc

ca

) — 

значения

 

взаимной

 

индуктивности

 

обмотки

 

возбуждения

продоль

-

ной

 

и

 

поперечной

 

демпферных

 

обмоток

Помимо

 

системы

 (8), 

необхо

-

димо

 

определить

 

значения

 

токов

 

во

 

вторичной

 

обмотке

 

трансфор

-

матора

для

 

чего

 

воспользуемся

 

системой

 

уравнений

:

(

)

(

)

(

)

.2

.2

.2

.1

.1

.2

.2

.2

.2

.2

.2

.1

.1

.2

.2

.2

.2

.2

.2

.1

.1

.2

.2

.2

;

;

.

ang

aT

a

aT

ca

a

a

a

bng

bT

b

bT

ab

b

b

b

cng

cT

c

cT

bc

c

c

c

R

R

di

M

di

i

dt

L

dt

L

R

R

di

M

di

i

dt

L

dt

L

R

R

di

M

di

i

dt

L

dt

L

+

=

+

=

+

=

Полученная

 

система

 

урав

-

нений

 (8) 

позволяет

 

определять

 

производные

 

токов

 

в

 

обмотках

 

по

 

известным

 

значениям

 

функций

 

(

токов

угла

 

поворота

 

ротора

 

и

 

ча

-

стоты

).

МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

ПЕРЕХОДНОГО

 

ПРОЦЕССА

 

В

 

СИСТЕМЕ

 

ПРИ

 

ВИТКОВЫХ

 

КОРОТКИХ

 

ЗАМЫКАНИЯХ

 

ОБМОТКИ

 

СТАТОРА

 

ГЕНЕРАТОРА

Практическими

 

методами

 

рас

-

чета

 

переходных

 

процессов

 

синхронной

 

машины

 

активно

 

занимается

 

С

.

А

Харитонов

 [7] 

(

описание

 

электромагнитных

 

пе

-

реходных

 

процессов

 

в

 

системах

 

генерирования

 

электрической

 

энергии

 

для

 

автономных

 

объек

-

тов

).

Предложенная

 

математиче

-

ская

 

модель

 

автономной

 

энер

-

госистемы

 

реализована

 

при

 

помощи

 

программного

 

пакета

 

MATLAB. 

Данная

 

программа

 

ши

-

роко

 

применяется

 

в

 

различного

 

рода

 

исследованиях

 

переходных

 

процессов

 

в

 

синхронных

 

и

 

асин

-

хронных

 

машинах

 [8–11].

Для

 

решения

 

системы

 

диф

-

ференциальных

 

уравнений

 

ис

-

пользована

 

функция

 ode45, 

ос

-

нованная

 

на

 

одношаговом

 

явном

 

методе

 

Рунге

-

Кутта

 4-

го

 

и

 5-

го

 

порядка

 [2]. 

За

 

основу

 

метода

 

расчета

 

производных

 

при

 

чис

-

ленном

 

решении

 

системы

 

диф

-

ференциальных

 

уравнений

 

взят

 

алгоритм