«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
54
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
В качестве целевой функции систе-
мы автоматического регулирования
(САР) они использовали для емкости
С
= const. То есть такую настройку САР,
при которой на выходе экструдера по-
лучается провод, емкость которого в
витой паре постоянна (относительно
другого, такого же). А в качестве па-
раметра регулирования — толщину t
слоя изоляции. Или диаметр 2
b
про-
вода в изоляции при стабильном диа-
метре жил 2
a
.
Необходимость разработки специ-
альной модели самарские исследова-
тели мотивировали тем, что изоляция
проводов в витых парах и кабелях на
их основе неоднородна из-за наличия
обширных воздушных пустот между
ними (рис.1). В результате чего неиз-
вестна величина эффективной диэлек-
трической постоянной
ε
* в применен-
ной ими формуле для расчета емкости
пар:
С
=
π
ε
*
ε
0
/ ln[
b
/
a
+ (
b
2
/
a
2
– 1)
1/2
].
Чтобы получить эту формулу, а так-
же вычислить
ε
* они и использовали
аппарат конформных отображений. А
именно — дробно-линейную функцию:
w = w
0
+ M
/(
z — P
),
где
Р
— полюс,
М
— масштаб,
w
0
— не-
который сдвиг координат в плоскости
u
,
v
. (несколько ранее в [2] ее применили
для расчета первичных параметров линий
связи).
Ценное свойство такой функции в
том, что она отображает окружности
и прямые, находящиеся в плоскости
z = x + jy
, в окружности (возможно, с
другим радиусом и центром) и/или
прямые в плоскости
w = u + jv
. И нао-
борот. Если, к примеру, полюс
Р
разме-
стить в одну из точек:
P
±
= ±(b
2
— a
2
)
1/2
,
то оригинал — симметричная пара
круглых жил — отображается в коак-
сиальную структуру. В ней жила, где
размещен полюс, «разворачивается»
в экран, простирающийся в бесконеч-
ность, а соседняя жила перемещает-
ся в центр коаксиальной структуры
(рис. 1). При этом радиусы жил ориги-
нала отображаются в «коаксиальные»
радиусы
а
4
= М
/(
a – P
+
)
и
а
1
= М
/(
a – P
–
).
Производство кабелей связи
и конформные отображения
Вишняков Е.М.,
ОТИ МИФИ г. Озерск,
Хвостов Д.В.,
ЗАО «СИМПЭК», г. Москва
Недавно [1] исследователи Самарского государственного технического
университета — СамГТУ сообщили о своем опыте применения конформных
отображений для построения математической модели автоматической системы
управления технологическими процессами — АСУТП в кабельном производ-
стве. В частности, экструзионного нанесения изоляции на жилы витых пар.
v
dC
1
a
3
a
2
ε
1
ε
2
a
4
b
a
P
–
ε
1
ε
2
P
+
a
1
y
x
u
P
+
P
–
ε
1
Рис.1. Отображение прямой неэкранированной пары жил (голубой и оранжевый круги)
в плоскости
x
,
y
в структуру, близкую к коаксиальной в плоскости
u
,
v
. Следует обратить
внимание, что отображение границ изоляторов — две касающиеся и эксцентричные
окружности
«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
55
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
Общее свойство конформных ото-
бражений в том, что емкость
С =
2
πε*ε
0
/
ln
(
a
4
/
a
1
)
коаксиальной структуры с диэлектричес-
кой постоянной изолятора
ε
* совпадает с
емкостью всех ее оригиналов. В том числе
и с емкостью симметричной пары:
С = πε*ε
0
/ln (1)
где ln = ln(
a
4
/
a
1
)/2 = ln[
b
/
a
+ (
b
2
/
a
2
— 1)
1/2
].
Аналогично можно получить ее
межпроводную индуктивность:
L =
ln
μ*μ
0
/
π
(2)
Эти формулы известны давно [3,4].
Но они пригодны лишь для однородных
изоляторов:
ε
* =
ε
1
=
ε
2
,
μ
* =
μ
1
= μ
2
. Что,
как сказано выше, не характерно для
витых пар в кабелях связи, окруженных
воздушным изолятором (
ε
2
= 1), а также
другими деталями конструкции: обо-
лочкой, экраном, а в многопарных ка-
белях связи — изоляторами и жилами
соседних пар (на рис.1 не показаны).
Так что величину ε* в формуле (1)
надо еще определить (чего обычно не
требуется для μ, так как в большинстве
кабельных конструкций
μ
* =
μ
1
=
μ
2
≈ 1).
С этой целью самарские исследо-
ватели разместили полюс
Р
в точке
касания изоляторов (рис. 2). Смысл в
том, что границы изоляторов в этом
случае отображаются в две параллель-
ные прямые, разделенные зазором
b
' =
M
/
b
. А жилы — в симметричную же
пару, заглубленную в изоляторы на ве-
личину
t
' =
M
(
b – a
)/(
b + a
).
Но так как простые способы расче-
та такой емкости неизвестны, в [1] вме-
сто нее использовали
приближенную
модель, в которой жилы заменили про-
водящими полуплоскостями (рис. 3).
В результате получился бесконечный
плоский конденсатор со слоистой изо-
ляцией. Для которого нетрудно вычис-
лить эффективную диэлектрическую
постоянную:
ε* =
(
b
'
+
2
t
'
)/(
t
'/2
ε
1
+b
'/
ε
2
)
=
= 2
b
/[(
b – а
)/
ε
1
+ (
b + a
)/
ε
2
]
(3)
Фактически здесь использовали
давно и широко применяемый в ка-
бельных расчетах принцип:
ищем не
там, где потеряли, а там, где свет-
ло
. И ниже увидим, что находим. Во из-
бежание недоразумений, отметим, что
в [1] приведены намного более гро-
моздкие формулы. Так как там рассмо-
трели пары с разным диаметром жил,
толщиной и материалом изоляции. Но
для симметричной пары эти формулы
вырождаются в (3).
Целью же нашей работы являет-
ся исследование погрешности пред-
ложенного в СамГТУ приближения в
форме (3). То есть, для практически
наиболее важного случая. И к каким
возможным последствиям может при-
вести ее применение в АСУ.
Анализ ошибок приближенных
вычислений емкости
Чтобы выявить эти ошибки, ε* вы-
числяли с помощью приближенных
формул и сравнивали с точными,
полученными из «первых принци-
пов» — методом конечных элементов
в программной среде ELCUT (погреш-
ность вычислений не больше 0,003%).
Геометрию проводников и изоля-
торов приняли близкой к приме-
няемой в LAN-кабелях (
а
= 0,25 мм и
t
= 0,25 мм).
Замена круглых жил проводящими
полуплоскостями — весьма грубая
модель. Тем не менее, если взглянуть
на полученное в ELCUT электрическое
b'
t'
b
a
Р
t
b'
t'
Р
b'
t'
Рис.2. Отображение круглых границ изоляторов в параллельные прямые
Рис.3. Замена круглых жил проводящими полуплоскостями
«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
56
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
поле симметричной пары (рис. 4), то
можно увидеть, что оно сосредоточе-
но между жилами и похоже на одно-
родное. Что вроде бы и придает моде-
ли некоторую разумность.
Результаты вычислений сведены в
табл.1. В левой колонке приведена ди-
электрическая постоянная изоляции
пар
ε
1
, рядом — их емкость
С
и эффек-
тивная диэлектрическая постоянная:
ε
* =
С
/
С
0
,
где
С
0
— емкость для
ε
1
=
ε
2
= 1.
В средних колонках
ε
* получена с
помощью (3) и методом взвешенного
объемного усреднения, который ре-
комендуют практически во всех учеб-
никах, справочниках и монографиях.
Например, в [5]:
ε
* = (
ε
1
S
1
+
ε
2
S
2
)/(
S
1
+
S
2
), (4)
где
S
1
и
S
2
— сечения изоляторов с посто-
янными
ε
1
и
ε
2
соответственно.
Что, вообще говоря, представляет-
ся весьма странным, так как несостоя-
тельность (4) может быть установлена
простейшими средствами [6]. И ошиб-
ки ε* могут достигать сотен процентов.
На недопустимость применения (4)
особо указывают и авторы [1]. Потому
и обратились к конформному модели-
рованию.
Сильные переоценки
ε
* в объемном
усреднении и, следовательно, расчет-
ных емкостей, связаны с переоценкой
роли частей изолятора, удаленных от
проводников. Отметим попутно, что
формальное применение (4) к оригина-
лу вообще ведет к абсурду: ε*
ε
2
= 1,
так как объем воздушной массы
S
2
∞.
Как видно из табл.1, ошибка при-
ближения, предложенного в [4], того
же порядка. Только другого знака. Дей-
ствительно, для полиэтилена (
ε
= 2,4)
она составляет –32%, а для ПВХ
(
ε
= 3...5) от –39% до –53%. Это
двукратный
промах в величине
ε
*.
Такова цена замены круглых жил
плоскими, которая ведет к резкому
уменьшению действующего объема
изолятора и, стало быть, к сильной не-
дооценке его роли в формировании
емкости. Что делает указанное при-
ближение столь же неприемлемым,
каким является и традиционное объ-
емное усреднение.
Впрочем, если идею самарских
исследователей применить к коакси-
альному отображению, то результат
можно улучшить. Как видно на рис. 5,
в узком секторе
φ
,
φ
+
dφ
радиус-
векторы границ изоляторов
r
3
(
φ
) и
r
2
(
φ
) почти неизменны. Если прене-
бречь тем, что сектор пересекает эти
границы, а также линии изопотенциа-
ла не везде под прямым углом, то, сле-
дуя методике [3] нетрудно вычислить
емкость сектора
dС
:
dC
= 1/(1/
dС
1
+ 1/
dС
2
+ 1/
dС
3
),
где
dС
3
=
dφ
ε
1
ε
0
/ln[
a
4
/
r
3
(
φ
)],
dС
2
=
dφ
ε
2
ε
0
/
/ ln[
r
3
(
φ
)/
r
2
(
φ
)],
dС
1
=
dφ ε
1
ε
0
/ln[
r
2
(
φ
)/
a
1
] —
включенные последовательно составляю-
щие элемента емкости
dC
. Полная емкость
С
= ∫
dC
. Учитывая, что
С
= 2
π ε
*
ε
0
/ ln(
a
4
/
a
1
), в
результате получим:
ε* = ∫ ln(
a
4
/
a
1
)/[ ln[
a
4
/r
3
(
φ
)]/
ε
1 +
ln[
r
3
(
φ
)/
r
2
(
φ
)]/
ε
2
+
+
ln[
r
2
(
φ
)/
a
1
]/
ε
1
]
dφ
/2
π
.
Интеграл возьмем численно, и
назовем такой прием радиальным
усреднением. Как видно из табл. 1,
его ошибка не превышает несколько
процентов. А так как в применяемой
модели межпроводную индуктивность
пары (2) и вклад ее проводников [4]
Рис. 4. Рельеф электрического потенциала (чер-
ные линии) и цветовая карта напряженности Е
(теплые тона — повышенная) в конформном
отображении симметричной пары с плоскими
границами изоляторов (ПВХ,
ε
= 3.5). Стрел-
ки — векторы Е. Следует обратить внимание на
повышенную однородность электрического
поля в зазоре между изоляторами.
Табл.1. Вычисление эффективной диэлектрической постоянной
симметричной пары
ELCUT
СамГТУ (2)
Объемн. усредн. (4)
Радиал. усредн. (5)
ε
1
C
ε
*
ε
*
ошибка
ε
*
ошибка
ε
*
ошибка
1
21.1
1.00
1.00
0 %
1.00
0 %
1.00
0.0 %
1.5
27.2
1.29
1.09
-16 %
1.41
9 %
1.30
0.4 %
1.8
30.5
1.45
1.13
-22 %
1.65
14 %
1.45
0.0 %
2
32.5
1.54
1.14
-26 %
1.81
18 %
1.54
-0.3 %
2.4
36.3
1.72
1.17
-32 %
2.14
24 %
1.71
-0.9 %
3
41.5
1.97
1.20
-39 %
2.62
33 %
1.93
-2.0 %
3.5
45.5
2.16
1.22
-44 %
3.03
40 %
2.10
-2.9 %
4
49.2
2.34
1.23
-47 %
3.43
47 %
2.25
-3.7 %
4.5
52.8
2.50
1.24
-50 %
3.84
53 %
2.39
-4.6 %
5
56.2
2.67
1.25
-53 %
4.24
59 %
2.52
-5.4 %
5.5
59.5
2.82
1.255
-56 %
4.65
65 %
2.65
-6.2 %
6
62.7
2.97
1.26
-58 %
5.06
70 %
2.77
-7.0 %
«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
57
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
можно вычислить точно, то вроде бы
можно надеяться, что ошибки вторич-
ных параметров: волнового сопротив-
ления
Z
= (
L
/
C
)
1/2
и скорости сигнала
V
= 1/(
L
/
C
)
1/2
окажутся еще в пару раз
меньше.
Общая задача кабельных
вычислений
И все же в целом ситуация совсем
не радужная. Дело в том, что в кабелях
связи практически не применяют уе-
диненные симметричные прямые про-
вода. Их скручивают в пары, а также в
пучки, зачастую оборудуя все это экра-
нами, дренажами и корделями. А, как
показали предыдущие исследования
[7,8], неучет скрутки ведет к дополни-
тельной ошибке порядка нескольких
процентов. Еще больше дополнитель-
ная ошибка (до 10....30%) возникает из-
за не учета роли соседних проводни-
ков (пар, экранов, дренажей).
Но даже и это — не главная беда.
Дело в том, что кабельным технологам
и расчетчикам приходится в основном
решать не прямые кабельные задачи
(заданы размеры и материалы кабе-
ля — вычислить его первичные и вто-
ричные параметры), а как раз обрат-
ные. Скажем, по заданному волновому
сопротивлению
Z
рассчитать толщину
t
изоляции жил. И тут, как показывают
численные эксперименты, погреш-
ность в расчете первичных параме-
тров ведет к усиленному (с фактором
~3) промаху в оценке
t
.
Это связано с тем, что величина
первичных и вторичных параметров
линий связи не сильно зависят от кон-
струкции кабеля. И это, вообще говоря,
удачное для производства свойство
кабелей ведет к тому, что даже неболь-
шие расчетные ошибки обесценивают
любые приближения. Даже такие, ка-
залось бы, неплохие, как радиальное
усреднение.
Ошибки приближенных вычисле-
ний технологических параметров
Покажем это на конкретном чис-
ленном примере.
Пусть надо изготовить пару с но-
миналом волнового сопротивления
Z
0
= 100 Ом из медных проволок 0,5 мм
с изоляцией ПВХ (
ε
= 3 ± 0.5). И пусть
конструкция кабеля и его рабочая ча-
стота в целом таковы, что формулы (1)
и (2) — «правильные».
(Заметим в скобках, что, как показа-
ли расчеты в ELCUT, некоторые кабель-
ные конструкции обладают таким
свойством: в них ошибки, возникающие
из-за неучета разных деталей, компен-
сируют друг друга. Так что для них в (1)
вместо ε* следует просто подстав-
лять ε. Но это, подчеркиваем, лишь для
определенных конструкций, величин ε
и в достаточно узком диапазоне ча-
стот).
В этом удачном случае технолог
легко может вычислить номинал тол-
щины изоляции:
t
0
/
a
=
ch
(
Z
0
(
Kε
)
1/2
π
ln /
Zv
) – 1
(5)
где
Zv
= (
ε
0
/
μ
0
)
1/2
= 376,76 Ом — волновое
сопротивление вакуума,
К
— фактор, учи-
тывающий ошибку в определении
ε
.
Она может возникать как из-за
колебаний свойств ПВХ (±14%), так и
занижения на –3...–10 % (
К
= 0,97...0,9)
вследствие радиального усреднения,
на — 44% (
К
= 0,56) из-за приближе-
ния (4) и завышения на + 40% (
К
= 1.4) в
объемном усреднении (3). Пусть, одна-
ко, ошибок нет, тогда
К
= 1 и
t
=
t
0
= 0,37
мм (полный диаметр жилы в изоляции
1,24 мм). Но если
К
≠ 1, то возникают
(систематические) ошибки в опреде-
лении толщины изоляции. Оценки этих
ошибок из-за разных причин в процен-
тах от номинала
t
0
сведены в табл. 2.
Верхняя строка (
К
= 1) показывает
масштаб колебаний
t
, необходимых для
компенсации колебаний
ε
изоляции.
Например, при уменьшении
ε
от 3,5 до
3 (–14%) для компенсации возникаю-
щего уменьшения емкости
С
(–14%) и,
следовательно, подъема
Z
(+7%) надо
уменьшить толщину изоляции на 17 %.
Но еще раз подчеркиваем, что такое
dC
1
r
3
(
ϕ
)
r
2
(
ϕ
)
a
4
a
1
d
ϕ
ϕ
ε
1
ε
1
ε
2
dС
3
dС
2
dС
1
Рис. 5. К расчету эффективной
диэлектрической постоянной с
помощью радиального усреднения
(масштабы условные).
Внизу — рельеф электрического
потенциала (черные линии) и цве-
товая карта напряженности поля
в конформном отображении пары
(изолятор:
ε
= 6,
t
=
a
= 0,25 мм).
«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
58
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
сравнительно мягкое, без потерь вы-
ходного продукта, управление техно-
логическими процессами возможно
лишь в том счастливом случае, когда
расчетная модель (1, 2) адекватна.
А теперь представим себе, что мы
этого не знаем и ее «улучшаем». Ска-
жем, с помощью радиального усред-
нения. Тогда мы фактически вводим в
(5) «поправочный» коэффициент
К
=
0,97...0,9. То есть, ошибку. И, как видим
из таблицы, это эквивалентно вводу в
технологию сильной (от –7% до –22%)
тенденции к систематическому за-
нижению толщины изоляции, против
которой придется упорно бороться. И
уж совсем катастрофической выглядит
ситуация, если попытаться «улучшить»
управление процессами с помощью
объемного усреднения или прибли-
жения, предложенного в СамГТУ. Тут
возможен
двух-трехкратный
промах
в толщине изоляции!
Задача управления
производством
Ну и что? Кабельщики пользовались
такими приближениями более полуве-
ка. А производственная практика, как
известно, есть критерий истины. И в
общем плане это верно. Но в кабельной
отрасли есть особенность. Когда моло-
дой инженер-кабельщик, вооруженный
изложенной в учебниках и методиче-
ских указаниях методикой расчетов,
приходит на завод, то встречает там
Старого Мастера. У которого за плечами
тысячи и тысячи километров кабелей, а
также вековой опыт его предшествен-
ников. И он знает, как их делать. Во вся-
ком случае, он не допустит внезапную
перенастройку экструдера на трехкрат-
ное уменьшение толщины изоляции.
Он скажет: «Ребята, здесь что-то не так.
Убавьте-ка толщину процентов на 15».
К сожалению, пока эти его знания
не поддаются формализации (иначе
бы вошли в учебники и методики). Но
с течением времени они все-же пере-
даются молодому поколению кабель-
щиков.
Сейчас, однако, ситуация суще-
ственно иная. С одной стороны, про-
исходит разрыв поколений: мастера
уходят в силу естественных причин, а
молодежь на замену не спешит. С дру-
гой стороны, ужесточаются требования
к качеству кабельных изделий как по
традиционным параметрам и полосе
частот, так и к специальным свойствам:
огнестойкости, дымовыделению, ис-
кро-, пожаро- и взрывобезопасности.
Не говоря уже о цене.
А с третьей, на повестке дня стоит
вопрос об организации АСУТП. А авто-
мату все-равно, какую в него заложили
модель кабельного изделия. Он — не
Мастер, и, в случае чего, перестроит
всю технологическую цепочку и задаст
любые доступные ей технологические
режимы. К примеру, исследователи
СамГТУ предложили внедрить в АСУТП
разработанную ими модель оценки
ε
*.
И даже сформулировали закон управ-
ления величиной толщины изоляции
для целевой функции
С
= const.
Заметим, однако, что чаще реа-
лизует другую целевую функцию:
Z
0
= const. А параметры
С
и
L
и ряд
других, как правило, факультативны
или ограничены верхними и нижни-
ми уставками. К примеру, в стандар-
тах [9,10]
Z
0
= 100 ± 15 Ом (31,25 КГц),
45 <
C
< 150 нФ/км,
L
< 1 мГн/км, зату-
хание < 3 дБ/км (39 КГц). Так что огра-
ничиться регулированием одного па-
раметра
С
, как правило, нельзя. Кроме
того, как показывает табл. 2, в законе
управления, основанном на прибли-
жении (2), может быть заложена значи-
тельная систематическая ошибка.
Модель САР процесса экструзи-
онного нанесения изоляции
Посмотрим, к каким последствиям
это может привести в производстве.
Для чего исследуем численную модель
САР для целевой функции
Z
0
= 100 ±
15 Ом (рис. 6). Она состоит из цепоч-
ки звеньев: СУ — системы управления,
преобразующей сигнал ошибки
x
вы-
ходного параметра в сигнал управле-
ния
y
,
К
— усилителя мощности этого
сигнала,
Н
— исполнительного устрой-
ства (скажем, нагревателя экструдера
для наложения ПВХ изоляции на жилу),
СК — системы контроля волнового со-
противления
Z
и узла сравнения его с
заданным
Z
0
, замыкающего цепь отри-
цательной обратной связи САР.
Сразу отметим, что реальная САР
куда сложнее, так как типичный экс-
трудер содержит до полдюжины на-
гревателей [11]. Кроме того, толщина
изоляции зависит еще и от скорости
движения жилы, скорости вращения
червяка рабочего цилиндра, геометрии
дорна, матрицы и других деталей го-
ловки экструдера, способа охлаждения
изоляции жилы на выходе аппарата...
Однако, для качественных иссле-
дований достаточно учесть какую-то
зависимость толщины
t
изоляции от
температуры
T
пластиката. Скажем, ли-
нейную:
Табл. 2. Ошибки толщины изоляции
ε
К
3
3,5
4
1
–17%
0
+17.5%
Радиальное усреднение
0,97
-22%
-7%
+ 9%
0,9
-35%
-22%
-9%
Объемное усреднение
1,40
92%
136%
184%
Приближение СамГТУ
0,56
-77%
-73%
-68%
«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
59
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
t = t
0
+
k
T
(
T – T
0
).
(6)
где
T
0
— некий номинал температуры, обе-
спечивающий номинал толщины
t
0
,
k
T
— ко-
эффициент.
Учитывая инерционность нагрева-
телей, передаточную функцию звена
Н
определим с помощью дифференци-
ального уравнения:
dT
/
dt = P
/
Q — T
/
τ
где
Р
— мощность нагревателя,
Q
— тепло-
емкость (например, головки экструдера),
τ
— характерное время ее остывания.
Контроль
Z
проще всего реализо-
вать, как предложено в [1], то есть с по-
мощью контроля
С
и диаметра жилы в
изоляции 2
b
= 2(
a + t
):
ε
=
C
ln /
ε
0
Z
= (
C
/
L
)
1/2
=
=
Zv
ln[
b
/
a
+(
b
2
/
a
2
–1)
1/2
] /
πε
1/2
(7)
Отсюда получим такое выражение
для ошибки САР:
х = Z
0
—
Z
=
Zv
ln[(
b
0
/
a
+ (
b
0
2
/
a
2
–1)
1/2
)/
/ (
b
/
a
+ (
b
2
/
a
2
–1)
1/2
) ] /
πε
1/2
,
где
b
0
=
a + t
0
. И такой закон управления
(выходной сигнал СУ):
y
/
а
= (
Y
+ 1/
Y
)/2 — 1,
где
Y = E
/ ln [(
b
0
/
a
+ (
b
0
2
/
a
2
– 1)
1/2
],
E
=
= exp (
xπε
1/2
/
Zv
).
Умножая
у
на коэффициент пере-
дачи усилителя
К
, получим мощность
нагревателя
Р = Ky.
Кроме этого, в модели учли запаз-
дывание сигнала управления. Посколь-
ку контроль
С
и 2
b
производят не на
выходе экструдера, а после остывания
изоляции жилы.
Итак, мы определили передаточ-
ные функции всех звеньев САР. Тут сле-
дует особо отметить, что передаточная
функция
у
/
x
основного звена — СУ —
не линейная. В отличие от линеари-
зованного закона управления в [1].
Это связано с тем, что линеаризация
передаточных функций САР уместна
при не слишком больших ошибках
х
.
И ее традиционно используют в тео-
рии автоматического управления, так
как это резко упрощает анализ работы
САР. Но, как показывает табл. 2, ошибки
могут быть настолько большими, что
линеаризация тут не применима.
Впрочем, при работе с численной
моделью нет необходимости в каких-
либо упрощениях (кроме закона (6),
который использовали просто потому,
что имеем дело с неким абстрактным
процессом экструзии).
На рис. 6 представлены переходные
характеристики САР с первоначальной
(ошибочной) настройкой
t
н
= 2
t
0
(отме-
тим, что для целевой функции
С
= const
ошибка может быть еще раза в полтора
больше). По сути, это изменение толщи-
ны изоляции во времени в процессе от-
работки начальной ошибки. При разной
величине коэффициента усиления
К
.
Как видно, при не слишком больших
К
переходные характеристики выходят
на горизонтали, параллельные номина-
лу
t
0
. Но с большой остаточной ошибкой
х
. Ее называют статической ошибкой
САР. А сами такие САР называют стати-
ческими. Ошибка САР неустранима в
том смысле, что необходима для ее ра-
боты (а именно: для формирования сиг-
нала управления, так как при
х
= 0,
у
= 0
и
Р
= 0). Но
х
уменьшается с ростом
К
:
х
~1/
К
. Например, при
К
= 10 ошибка
слишком велика, и САР не справляется
с задачей:
Z
уходит под нижнюю грани-
Z
0
x
СУ
Z
Э
y
ОТК
П
К
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
вре мя , усл. е д.
т
о
л
щ
ина
из
о
л
я
ц
ии.
, м
м
10
70
100
30
150
Рис. 6. Структурная схема АСУТП.
Z
0
— целевая функция, СУ — система управления, преоб-
разующая ошибку
x
=
Z
0
—
Z
параметра в
y
— сигнал управления.
К
— усилитель, Э — ис-
полнительный механизм, П — продукт, ОТК — контроль
Z
— выходного параметра продукта.
Внизу — переходные процессы (процессы отработки начальной ошибки выходного параме-
тра продукта) при различных коэффициентах усиления (числа около кривых). Горизонталь-
ная линия — номинал толщины, пунктиры — допуск ± 15%. Cледует обратить внимание на
увеличение точности работы АСУТП по мере роста К и ухудшение устойчивости переходного
процесса.
«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010
60
Технологии расчетов
ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ
цу допуска. Увеличение
К
, скажем, до
30 выправляет ситуацию. И вообще, с
его ростом растет и точность САР. Но
растет и ее неустойчивость. Сначала
в форме «звона» в начале процесса
(
К
= 70, 100), а потом (
К
≥ 150) — не за-
тухающих колебаний толщины с макси-
мально доступной для механизмов САР
амплитудой.
Отметим попутно, что такое по-
ведение САР вполне типично. И, к
слову, для подавления «звона» в цепь
САР обычно включают специально
настраиваемые пропорциональные
интегро-дифференциальные — ПИД-
регуляторы, которые позволяют не
только увеличить
К
и снизить статиче-
скую ошибку САР, но и полностью ее
подавить. Такие САР называют астати-
ческими. Такое их свойство связано с
тем, что их СУ реагирует не столько на
ошибку
х
, сколько на скорость ее изме-
нения
dx
/
dt
. И тогда сигнал управления
у
≠ 0, даже если
х
= 0. Численно моде-
лировать работу ПИД-регуляторов не
представляет особого труда.
Если же, как показано на рис. 6, ре-
гулирование приводит к тому, что тол-
щина
t
выходит за рамки допуска (на ри-
сунке — горизонтальные пунктиры), то
указанные части продукта — брак. Так
что, помимо прочего, рисунок показы-
вает, насколько важна правильная на-
чальная настройка экструдера. То есть
попадание
t
н
в окно допуска: тогда при
правильном выборе
К
вся переходная
характеристика ляжет в допуск. Приме-
нение же приближений наподобие (3)
и (4) практически неизбежно приведет
к отбраковке начальных участков кабе-
лей связи.
Конечно, для ликвидации этой
ошибки можно ввести поправочные
эмпирические коэффициенты, как это
всегда делалось в кабельных расчетах.
Но тогда гораздо лучше воспользовать-
ся старыми традиционными выражени-
ями (1,2), в которых следует подставить
ln (2
b
/
a
). Без конформных и иных затей,
которые в таком случае совершенно те-
ряют смысл.
Выводы
Исследования, проведенные в
СамГТУ, ценны тем, что еще раз, и весь-
ма весомо, подтверждают выводы, сде-
ланные в работах [6, 7] и других: надо
оставить Истории все, без исключения,
приближенные методы расчета па-
раметров кабельных изделий. Так как
результат даже самой изысканной изо-
бретательности в их «улучшении» вряд
ли оправдает затрачиваемые на это
усилия. И может даже привести к об-
ратному эффекту.
Мы еще раз убеждаемся в том, что
для действительно серьезных кабель-
ных расчетов и адекватного управле-
ния производственными процессами
не обойтись без моделирования элек-
тромагнитных полей кабельных струк-
тур из «первых принципов». Тем паче,
что кабельщики получили надлежащий
для этого инструментарий. Например,
цифровые автоматы [12], которые по-
зволяют получать результаты на мно-
го порядков быстрее и точнее любых
традиционных методик, и для любой
мыслимой конструкции кабельного из-
делия.
Конформные же отображения, ко-
нечно, — полезный инструмент, но его
возможности весьма ограничены. И в
кабельных расчетах его целесообразно
использовать лишь в качестве вспомо-
гательного средства.
Литература
1. Чостковский Б.К., Смородинов Д.А.
Математическая модель витой пары радиоча-
стотного кабеля объекта управления. Вестн.
Сам. гос. техн. ун-та. Физ.-мат. Науки. — 2008,
№1(16), С. 113—118, ISSN 19918615
2. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Расчет
межпроводной индуктивности и емкости
симметричных прямых пар методами кон-
формных отображений и конечных элемен-
тов. «КАБЕЛЬ-news», №3 (13), 2007, С. 30—36.
3. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский
М.Г. Расчет электрической емкости. — Л.:
Энергоиздат, 1981.
4. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет
индуктивностей. — Л: Энергоатомиздат, 1986.
5. Власов В.Е., Парфенов Ю.А. Кабели
цифровых сетей электросвязи. Конструи-
рование, технологии, применение. — М:
Эко-Трендз, 2005.
6. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Несостоя-
тельность некоторых традиционных методов
расчета емкостных параметров триад и трех-
фазных кабелей. «КАБЕЛЬ-news», №12. 1. 2008,
С. 44—48.
7. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Влияние
скрутки на межпроводниковую емкость витых
пар и триад. «КАБЕЛЬ-news», №4, 2007, С. 22—27.
8. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Влияние
скрутки и других нарушений осевой симме-
трии кабельных конструкций на скорость
распространения сигнала. «КАБЕЛЬ-news»,
№6—7, 2007, С. 48—54.
9. Рекомендации по проектированию
систем FieldBus Foundation — FF AG-181 реви-
зия 2.0 2004
10. ГОСТ 52350.27-2005 Концепция искро-
безопасной системы полевой шины (FISCO)
концепция невоспламеняющей системы по-
левой шины (FNICO).
11. Леонов В.М., Пешков И.В., Рязанов И.Б.,
Холодный С.Д. Основы кабельной техники. —
М: Академия, 2006.
12. Хвостов Д.В., Вишняков Е.М., Никулин
А.В. Цифровой автомат для расчета кабелей
из «первых принципов». «КАБЕЛЬ-news», №5,
2009, С. 74—78.
Особо хотим поблагодарить
всех, кто принял живое участие
в обсуждении изложенной темы
на кабельном форуме RusCable.Ru
(http://www.ruscable.ru/interactive/
forum/show_msg-79816.html).
Оригинал статьи: Производство кабелей связи и конформные отображения
Недавно исследователи Самарского государственного технического университета — СамГТУ сообщили о своем опыте применения конформных отображений для построения математической модели автоматической системы управления технологическими процессами — АСУТП в кабельном производстве. В частности, экструзионного нанесения изоляции на жилы витых пар.