Производство кабелей связи и конформные отображения

Page 1
background image

Page 2
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

54

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

В качестве целевой функции систе-

мы автоматического регулирования 
(САР) они использовали для емкости 

С

 = const. То есть такую настройку САР, 

при которой на выходе экструдера по-
лучается провод, емкость которого в 
витой паре постоянна (относительно 
другого, такого же). А в качестве па-
раметра регулирования — толщину t 
слоя изоляции. Или диаметр 2

b

 про-

вода в изоляции при стабильном диа-
метре жил 2

a

Необходимость разработки специ-

альной модели самарские исследова-
тели мотивировали тем, что изоляция 

проводов в витых парах и кабелях на 
их основе неоднородна из-за наличия 
обширных воздушных пустот между 
ними (рис.1). В результате чего неиз-
вестна величина эффективной диэлек-
трической постоянной 

ε

* в применен-

ной ими формуле для расчета емкости 
пар: 

С

 = 

π

 

ε

*

ε

0

/ ln[

b

/

a

 + (

b

2

/

a

2

 – 1)

1/2

].

Чтобы получить эту формулу, а так-

же вычислить 

ε

* они и использовали 

аппарат конформных отображений. А 
именно — дробно-линейную функцию:

w = w

0

 + M

/(

z — P

),

где 

Р

 — полюс, 

М

 — масштаб, 

w

0

 — не-

который сдвиг координат в плоскости 

u

v

. (несколько ранее в [2] ее применили 

для расчета первичных параметров линий 

связи). 

Ценное свойство такой функции в 

том, что она отображает окружности 
и прямые, находящиеся в плоскости 

z = x + jy

, в окружности (возможно, с 

другим радиусом и центром) и/или 
прямые в плоскости 

w = u + jv

. И нао-

борот. Если, к примеру, полюс 

Р

 разме-

стить в одну из точек:

P

±

 = ±(b

2

 — a

2

)

1/2

,

то оригинал — симметричная пара 
круглых жил — отображается в коак-
сиальную структуру. В ней жила, где 
размещен полюс, «разворачивается» 
в экран, простирающийся в бесконеч-
ность, а соседняя жила перемещает-
ся в центр коаксиальной структуры 
(рис. 1). При этом радиусы жил ориги-
нала отображаются в «коаксиальные» 
радиусы 

а

4

 = М

/(

a – P

+

)    

и

    а

1

 = М

/(

a – P

 –

). 

Производство кабелей связи 
и конформные отображения

Вишняков Е.М.,

 

ОТИ МИФИ г. Озерск,

Хвостов Д.В.,

 

ЗАО «СИМПЭК», г. Москва

Недавно [1] исследователи Самарского государственного технического 

университета — СамГТУ сообщили о своем опыте применения конформных 
отображений для построения математической модели автоматической системы 
управления технологическими процессами — АСУТП в кабельном производ-
стве. В частности, экструзионного нанесения изоляции на жилы витых пар.

 

dC

1

 

a

3

 

a

2

 

ε

1

 

ε

2

 

a

4

 

b

 

P

 

ε

1

 

ε

2

 

P

+

 

a

1

 

P

+

 

P

 

ε

1

 

Рис.1. Отображение прямой неэкранированной пары жил (голубой и оранжевый круги) 
в плоскости 

x

y

 в структуру, близкую к коаксиальной в плоскости 

u

v

. Следует обратить 

внимание, что отображение границ изоляторов — две касающиеся и эксцентричные 
окружности


Page 3
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

55

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

Общее свойство конформных ото-

бражений в том, что емкость 

С = 

2

πε*ε

0

/

ln

(

a

4

/

a

1

)

 

коаксиальной структуры с диэлектричес-

кой постоянной изолятора 

ε

* совпадает с 

емкостью всех ее оригиналов. В том числе 

и с емкостью симметричной пары:

 

          

С = πε*ε

0

/ln (1)

где ln = ln(

a

4

/

a

1

)/2 = ln[

b

/

a

 + (

b

2

/

a

2

 — 1)

1/2

]. 

Аналогично можно получить ее 

межпроводную индуктивность:

 

            L = 

ln

 μ*μ

0

/

π 

(2)

Эти формулы известны давно [3,4]. 

Но они пригодны лишь для однородных 
изоляторов: 

ε

* = 

ε

1

 = 

ε

2

μ

* = 

μ

1

 = μ

2

. Что, 

как сказано выше, не характерно для 
витых пар в кабелях связи, окруженных 
воздушным изолятором (

ε

2

 = 1), а также 

другими деталями конструкции: обо-
лочкой, экраном, а в многопарных ка-
белях связи — изоляторами и жилами 
соседних пар (на рис.1 не показаны). 

Так что величину ε* в формуле (1) 

надо еще определить (чего обычно не 
требуется для μ, так как в большинстве 
кабельных конструкций 

μ

* = 

μ

1

 = 

μ

2

 ≈ 1). 

С этой целью самарские исследо-

ватели разместили полюс 

Р

 в точке 

касания изоляторов (рис. 2). Смысл в 
том, что границы изоляторов в этом 
случае отображаются в две параллель-
ные прямые, разделенные зазором 

b

' = 

M

/

b

. А жилы — в симметричную же 

пару, заглубленную в изоляторы на ве-
личину 

t

' = 

M

(

b – a

)/(

b + a

). 

Но так как простые способы расче-

та такой емкости неизвестны, в [1] вме-
сто нее использовали 

приближенную

 

модель, в которой жилы заменили про-
водящими полуплоскостями (рис. 3). 

В результате получился бесконечный 
плоский конденсатор со слоистой изо-
ляцией. Для которого нетрудно вычис-
лить эффективную диэлектрическую 
постоянную:

ε* = 

(

b

'

 + 

2

t

'

 

)/(

t

'/2

ε

1

+b

'/

ε

2

)

 =

      = 2

b

/[(

b – а

)/

ε

1

 + (

b + a

)/

ε

2

]  

(3)

Фактически здесь использовали 

давно и широко применяемый в ка-
бельных расчетах принцип: 

ищем не 

там, где потеряли, а там, где свет-

ло

. И ниже увидим, что находим. Во из-

бежание недоразумений, отметим, что 
в [1] приведены намного более гро-
моздкие формулы. Так как там рассмо-
трели пары с разным диаметром жил, 
толщиной и материалом изоляции. Но 
для симметричной пары эти формулы 
вырождаются в (3). 

Целью же нашей работы являет-

ся исследование погрешности пред-

ложенного в СамГТУ приближения в 
форме (3). То есть, для практически 
наиболее важного случая. И к каким 
возможным последствиям может при-
вести ее применение в АСУ.

 

Анализ ошибок приближенных 
вычислений емкости

Чтобы выявить эти ошибки, ε* вы-

числяли с помощью приближенных 
формул и сравнивали с точными, 
полученными из «первых принци-
пов» — методом конечных элементов 
в программной среде ELCUT (погреш-
ность вычислений не больше 0,003%). 
Геометрию проводников и изоля-
торов приняли близкой к приме-
няемой в LAN-кабелях (

а

 = 0,25 мм и 

t

 = 0,25 мм). 

Замена круглых жил проводящими 

полуплоскостями — весьма грубая 
модель. Тем не менее, если взглянуть 
на полученное в ELCUT электрическое 

b'

 

t'

 

b

 

Р 

t

 

b'

t'

Р

b'

t'

Рис.2. Отображение круглых границ изоляторов в параллельные прямые

Рис.3. Замена круглых жил проводящими полуплоскостями


Page 4
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

56

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

поле симметричной пары (рис. 4), то 
можно увидеть, что оно сосредоточе-
но между жилами и похоже на одно-
родное. Что вроде бы и придает моде-
ли некоторую разумность. 

Результаты вычислений сведены в 

табл.1. В левой колонке приведена ди-
электрическая постоянная изоляции 
пар 

ε

1

, рядом — их емкость 

С

 и эффек-

тивная диэлектрическая постоянная: 

ε

* = 

С

/

С

0

,

где 

С

0

 — емкость для 

ε

1

 = 

ε

2

 = 1. 

В средних колонках 

ε

* получена с 

помощью (3) и методом взвешенного 
объемного усреднения, который ре-
комендуют практически во всех учеб-
никах, справочниках и монографиях. 
Например, в [5]:

       ε

* = (

ε

1

S

1

 + 

ε

2

S

2

)/(

S

1

 + 

S

2

), (4)

где 

S

1

 и 

S

2

 — сечения изоляторов с посто-

янными 

ε

1

 и 

ε

2

 соответственно. 

Что, вообще говоря, представляет-

ся весьма странным, так как несостоя-
тельность (4) может быть установлена 
простейшими средствами [6]. И ошиб-

ки ε* могут достигать сотен процентов. 
На недопустимость применения (4) 
особо указывают и авторы [1]. Потому 
и обратились к конформному модели-
рованию. 

Сильные переоценки 

ε

* в объемном 

усреднении и, следовательно, расчет-
ных емкостей, связаны с переоценкой 
роли частей изолятора, удаленных от 
проводников. Отметим попутно, что 
формальное применение (4) к оригина-
лу вообще ведет к абсурду: ε*

 

ε

2

 = 1, 

так как объем воздушной массы 

S

2

 

 ∞. 

Как видно из табл.1, ошибка при-

ближения, предложенного в [4], того 
же порядка. Только другого знака. Дей-
ствительно, для полиэтилена (

ε

 = 2,4) 

она составляет –32%, а для ПВХ 
(

ε

 = 3...5) от –39% до –53%. Это 

двукратный

 промах в величине 

ε

*.

Такова цена замены круглых жил 

плоскими, которая ведет к резкому 
уменьшению действующего объема 
изолятора и, стало быть, к сильной не-
дооценке его роли в формировании 
емкости. Что делает указанное при-
ближение столь же неприемлемым, 
каким является и традиционное объ-
емное усреднение. 

Впрочем, если идею самарских 

исследователей применить к коакси-

альному отображению, то результат 
можно улучшить. Как видно на рис. 5, 
в узком секторе 

φ

φ

+

 радиус-

векторы границ изоляторов 

r

3

(

φ

) и 

r

2

(

φ

) почти неизменны. Если прене-

бречь тем, что сектор пересекает эти 
границы, а также линии изопотенциа-
ла не везде под прямым углом, то, сле-
дуя методике [3] нетрудно вычислить 
емкость сектора 

:

dC

 = 1/(1/

1

 + 1/

2

 + 1/

3

),

где 

3

 = 

 

ε

1

ε

0

/ln[

a

4

/

r

3

(

φ

)], 

2

 = 

 

ε

2

ε

0

/ ln[

r

3

(

φ

)/

r

2

(

φ

)], 

1

 = 

dφ ε

1

ε

0

/ln[

r

2

(

φ

)/

a

1

] — 

включенные последовательно составляю-

щие элемента емкости 

dC

. Полная емкость 

С

 = ∫

dC

. Учитывая, что 

С

 = 2

π ε

*

ε

0

/ ln(

a

4

/

a

1

), в 

результате получим:

ε* =  ∫ ln(

a

4

/

a

1

)/[ ln[

a

4

/r

3

(

φ

)]/

ε

1 + 

ln[

r

3

(

φ

)/

r

2

(

φ

)]/

ε

2

 + 

 + 

ln[

r

2

(

φ

)/

a

1

]/

ε

1

]

 dφ

/2

π

Интеграл возьмем численно, и 

назовем такой прием радиальным 
усреднением. Как видно из табл. 1, 
его ошибка не превышает несколько 
процентов. А так как в применяемой 
модели межпроводную индуктивность 
пары (2) и вклад ее проводников [4] 

Рис. 4. Рельеф электрического потенциала (чер-
ные линии) и цветовая карта напряженности Е 
(теплые тона — повышенная) в конформном 
отображении симметричной пары с плоскими 
границами изоляторов (ПВХ, 

ε

 = 3.5). Стрел-

ки — векторы Е. Следует обратить внимание на 
повышенную однородность электрического 
поля в зазоре между изоляторами.

Табл.1. Вычисление эффективной диэлектрической постоянной 

симметричной пары

ELCUT

СамГТУ (2)

Объемн. усредн. (4)

Радиал. усредн. (5)

ε

1

C

ε

*

ε

*

ошибка

ε

*

ошибка

ε

*

ошибка

1

21.1

1.00

1.00

0 %

1.00

0 %

1.00

0.0 %

1.5

27.2

1.29

1.09

-16 %

1.41

9 %

1.30

0.4 %

1.8

30.5

1.45

1.13

-22 %

1.65

14 %

1.45

0.0 %

2

32.5

1.54

1.14

-26 %

1.81

18 %

1.54

-0.3 %

2.4

36.3

1.72

1.17

-32 %

2.14

24 %

1.71

-0.9 %

3

41.5

1.97

1.20

-39 %

2.62

33 %

1.93

-2.0 %

3.5

45.5

2.16

1.22

-44 %

3.03

40 %

2.10

-2.9 %

4

49.2

2.34

1.23

-47 %

3.43

47 %

2.25

-3.7 %

4.5

52.8

2.50

1.24

-50 %

3.84

53 %

2.39

-4.6 %

5

56.2

2.67

1.25

-53 %

4.24

59 %

2.52

-5.4 %

5.5

59.5

2.82

1.255

-56 %

4.65

65 %

2.65

-6.2 %

6

62.7

2.97

1.26

-58 %

5.06

70 %

2.77

-7.0 %


Page 5
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

57

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

можно вычислить точно, то вроде бы 
можно надеяться, что ошибки вторич-
ных параметров: волнового сопротив-
ления 

Z

 = (

L

/

C

)

1/2

 и скорости сигнала 

= 1/(

L

/

C

)

1/2

 окажутся еще в пару раз 

меньше.

Общая задача кабельных 
вычислений

И все же в целом ситуация совсем 

не радужная. Дело в том, что в кабелях 
связи практически не применяют уе-
диненные симметричные прямые про-
вода. Их скручивают в пары, а также в 
пучки, зачастую оборудуя все это экра-
нами, дренажами и корделями. А, как 
показали предыдущие исследования 
[7,8], неучет скрутки ведет к дополни-
тельной ошибке порядка нескольких 
процентов. Еще больше дополнитель-
ная ошибка (до 10....30%) возникает из-
за не учета роли соседних проводни-
ков (пар, экранов, дренажей). 

Но даже и это — не главная беда. 

Дело в том, что кабельным технологам 
и расчетчикам приходится в основном 
решать не прямые кабельные задачи 
(заданы размеры и материалы кабе-
ля — вычислить его первичные и вто-
ричные параметры), а как раз обрат-
ные. Скажем, по заданному волновому 
сопротивлению 

Z

 рассчитать толщину 

t

 изоляции жил. И тут, как показывают 

численные эксперименты, погреш-
ность в расчете первичных параме-
тров ведет к усиленному (с фактором 
~3) промаху в оценке 

t

Это связано с тем, что величина 

первичных и вторичных параметров 
линий связи не сильно зависят от кон-
струкции кабеля. И это, вообще говоря, 
удачное для производства свойство 
кабелей ведет к тому, что даже неболь-
шие расчетные ошибки обесценивают 
любые приближения. Даже такие, ка-
залось бы, неплохие, как радиальное 
усреднение. 

Ошибки приближенных вычисле-
ний технологических параметров

Покажем это на конкретном чис-

ленном примере. 

Пусть надо изготовить пару с но-

миналом волнового сопротивления 

Z

0

 = 100 Ом из медных проволок 0,5 мм 

с изоляцией ПВХ (

ε

 = 3 ± 0.5). И пусть 

конструкция кабеля и его рабочая ча-
стота в целом таковы, что формулы (1) 
и (2) — «правильные». 

(Заметим в скобках, что, как показа-

ли расчеты в ELCUT, некоторые кабель-

ные конструкции обладают таким 

свойством: в них ошибки, возникающие 

из-за неучета разных деталей, компен-

сируют друг друга. Так что для них в (1) 

вместо ε* следует просто подстав-

лять ε. Но это, подчеркиваем, лишь для 

определенных конструкций, величин ε 

и в достаточно узком диапазоне ча-

стот). 

В этом удачном случае технолог 

легко может вычислить номинал тол-
щины изоляции:

  t

0

/

a

 = 

ch

(

Z

0

 (

)

1/2

 

π

 ln /

Zv

) – 1 

(5)

где 

Zv

 = (

ε

0

/

μ

0

)

1/2

 = 376,76 Ом — волновое 

сопротивление вакуума, 

К

 — фактор, учи-

тывающий ошибку в определении 

ε

Она может возникать как из-за 

колебаний свойств ПВХ (±14%), так и 
занижения на –3...–10 % (

К

 = 0,97...0,9) 

вследствие радиального усреднения, 
на — 44% (

К

 = 0,56) из-за приближе-

ния (4) и завышения на + 40% (

К

 = 1.4) в 

объемном усреднении (3). Пусть, одна-
ко, ошибок нет, тогда 

К

 = 1 и 

t

 = 

t

0

 = 0,37 

мм (полный диаметр жилы в изоляции 
1,24 мм). Но если 

К

 ≠ 1, то возникают 

(систематические) ошибки в опреде-
лении толщины изоляции. Оценки этих 
ошибок из-за разных причин в процен-
тах от номинала 

t

0

 сведены в табл. 2. 

Верхняя строка (

К

 = 1) показывает 

масштаб колебаний 

t

, необходимых для 

компенсации колебаний 

ε

 изоляции. 

Например, при уменьшении 

ε

 от 3,5 до 

3 (–14%) для компенсации возникаю-
щего уменьшения емкости 

С

 (–14%) и, 

следовательно, подъема 

Z

 (+7%) надо 

уменьшить толщину изоляции на 17 %. 
Но еще раз подчеркиваем, что такое 

 

dC

1

 

r

3

(

ϕ

r

2

(

ϕ

a

4

 

a

1

 

d

ϕ

 

ϕ

 

ε

1

 

ε

1

 

ε

2

 

3

 

2

 

1

 

Рис. 5. К расчету эффективной 
диэлектрической постоянной с 
помощью радиального усреднения 
(масштабы условные). 

Внизу — рельеф электрического 
потенциала (черные линии) и цве-
товая карта напряженности поля 
в конформном отображении пары 
(изолятор: 

ε

 = 6, 

t

 = 

a

 = 0,25 мм).


Page 6
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

58

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

сравнительно мягкое, без потерь вы-
ходного продукта, управление техно-
логическими процессами возможно 
лишь в том счастливом случае, когда 
расчетная модель (1, 2) адекватна. 

А теперь представим себе, что мы 

этого не знаем и ее «улучшаем». Ска-
жем, с помощью радиального усред-
нения. Тогда мы фактически вводим в 
(5) «поправочный» коэффициент 

К

 = 

0,97...0,9. То есть, ошибку. И, как видим 
из таблицы, это эквивалентно вводу в 
технологию сильной (от –7% до –22%) 
тенденции к систематическому за-
нижению толщины изоляции, против 
которой придется упорно бороться. И 
уж совсем катастрофической выглядит 
ситуация, если попытаться «улучшить» 
управление процессами с помощью 
объемного усреднения или прибли-
жения, предложенного в СамГТУ. Тут 
возможен 

двух-трехкратный

 промах 

в толщине изоляции!

Задача управления 
производством

Ну и что? Кабельщики пользовались 

такими приближениями более полуве-
ка. А производственная практика, как 
известно, есть критерий истины. И в 
общем плане это верно. Но в кабельной 
отрасли есть особенность. Когда моло-
дой инженер-кабельщик, вооруженный 
изложенной в учебниках и методиче-
ских указаниях методикой расчетов, 
приходит на завод, то встречает там 
Старого Мастера. У которого за плечами 
тысячи и тысячи километров кабелей, а 
также вековой опыт его предшествен-
ников. И он знает, как их делать. Во вся-
ком случае, он не допустит внезапную 
перенастройку экструдера на трехкрат-
ное уменьшение толщины изоляции. 
Он скажет: «Ребята, здесь что-то не так. 
Убавьте-ка толщину процентов на 15». 

К сожалению, пока эти его знания 

не поддаются формализации (иначе 

бы вошли в учебники и методики). Но 
с течением времени они все-же пере-
даются молодому поколению кабель-
щиков. 

Сейчас, однако, ситуация суще-

ственно иная. С одной стороны, про-
исходит разрыв поколений: мастера 
уходят в силу естественных причин, а 
молодежь на замену не спешит. С дру-
гой стороны, ужесточаются требования 
к качеству кабельных изделий как по 
традиционным параметрам и полосе 
частот, так и к специальным свойствам: 
огнестойкости, дымовыделению, ис-
кро-, пожаро- и взрывобезопасности. 
Не говоря уже о цене. 

А с третьей, на повестке дня стоит 

вопрос об организации АСУТП. А авто-
мату все-равно, какую в него заложили 
модель кабельного изделия. Он — не 
Мастер, и, в случае чего, перестроит 
всю технологическую цепочку и задаст 
любые доступные ей технологические 
режимы. К примеру, исследователи 
СамГТУ предложили внедрить в АСУТП 
разработанную ими модель оценки 

ε

*. 

И даже сформулировали закон управ-
ления величиной толщины изоляции 
для целевой функции 

С

 = const. 

Заметим, однако, что чаще реа-

лизует другую целевую функцию: 

Z

0

 = const. А параметры 

С

 и 

L

 и ряд 

других, как правило, факультативны 
или ограничены верхними и нижни-
ми уставками. К примеру, в стандар-
тах [9,10] 

Z

0

 = 100 ± 15 Ом (31,25 КГц), 

45 < 

C

 < 150 нФ/км, 

L

 < 1 мГн/км, зату-

хание < 3 дБ/км (39 КГц). Так что огра-
ничиться регулированием одного па-
раметра 

С

, как правило, нельзя. Кроме 

того, как показывает табл. 2, в законе 
управления, основанном на прибли-
жении (2), может быть заложена значи-
тельная систематическая ошибка.

Модель САР процесса экструзи-
онного нанесения изоляции

Посмотрим, к каким последствиям 

это может привести в производстве. 
Для чего исследуем численную модель 
САР для целевой функции 

Z

0

 = 100 ± 

15 Ом (рис. 6). Она состоит из цепоч-
ки звеньев: СУ — системы управления, 
преобразующей сигнал ошибки 

x

 вы-

ходного параметра в сигнал управле-
ния 

y

К

 — усилителя мощности этого 

сигнала, 

Н

 — исполнительного устрой-

ства (скажем, нагревателя экструдера 
для наложения ПВХ изоляции на жилу), 
СК — системы контроля волнового со-
противления 

Z

 и узла сравнения его с 

заданным 

Z

, замыкающего цепь отри-

цательной обратной связи САР.

Сразу отметим, что реальная САР 

куда сложнее, так как типичный экс-
трудер содержит до полдюжины на-
гревателей [11]. Кроме того, толщина 
изоляции зависит еще и от скорости 
движения жилы, скорости вращения 
червяка рабочего цилиндра, геометрии 
дорна, матрицы и других деталей го-
ловки экструдера, способа охлаждения 
изоляции жилы на выходе аппарата...

Однако, для качественных иссле-

дований достаточно учесть какую-то 
зависимость толщины 

t

 изоляции от 

температуры 

T

 пластиката. Скажем, ли-

нейную:

Табл. 2. Ошибки толщины изоляции

ε 

К

3

3,5

4

1

–17%

0

+17.5%

Радиальное усреднение

0,97

-22%

-7%

+ 9%

0,9

-35%

-22%

-9%

Объемное усреднение

1,40

92%

136%

184%

Приближение СамГТУ

0,56

-77%

-73%

-68%


Page 7
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

59

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

 

      t = t

0

 + 

k

T

 (

T – T

0

).  

(6)

где 

T

0

 — некий номинал температуры, обе-

спечивающий номинал толщины 

t

0

k

T

 — ко-

эффициент. 

Учитывая инерционность нагрева-

телей, передаточную функцию звена 

Н

 

определим с помощью дифференци-
ального уравнения:

dT

/

dt = P

/

Q — T

/

τ

где 

Р

 — мощность нагревателя, 

Q

 — тепло-

емкость (например, головки экструдера), 

τ

 — характерное время ее остывания.

Контроль 

Z

 проще всего реализо-

вать, как предложено в [1], то есть с по-
мощью контроля 

С

 и диаметра жилы в 

изоляции 2

b

 = 2(

a + t

):

ε

 = 

C

 ln /

ε

0

Z

 = (

C

/

L

)

1/2

 =

Zv

 ln[

b

/

a

 +(

b

2

/

a

2

–1)

1/2

] /

πε

1/2

 (7)

Отсюда получим такое выражение 

для ошибки САР:

х = Z

0

 — 

Z

 = 

Zv 

ln[(

b

0

/

a

 + (

b

0

/

a

2

–1)

1/2

)/

/ (

b

/

a

 + (

b

2

/

a

2

–1)

1/2

) ] /

πε

1/2

,

где 

b

0

 = 

a + t

0

. И такой закон управления 

(выходной сигнал СУ): 

y

/

а

 = (

Y

 + 1/

Y

)/2 — 1,

где 

Y = E

 / ln [(

b

/

a

 + (

b

0

/

a

– 1)

1/2

], 

E

 = 

= exp (

xπε

1/2

/

Zv

).

Умножая 

у

 на коэффициент пере-

дачи усилителя 

К

, получим мощность 

нагревателя 

Р = Ky.

Кроме этого, в модели учли запаз-

дывание сигнала управления. Посколь-
ку контроль 

С

 и 2

b

 производят не на 

выходе экструдера, а после остывания 
изоляции жилы. 

Итак, мы определили передаточ-

ные функции всех звеньев САР. Тут сле-
дует особо отметить, что передаточная 
функция 

у

/

x

 основного звена — СУ — 

не линейная. В отличие от линеари-
зованного закона управления в [1]. 
Это связано с тем, что линеаризация 
передаточных функций САР уместна 
при не слишком больших ошибках 

х

И ее традиционно используют в тео-
рии автоматического управления, так 
как это резко упрощает анализ работы 
САР. Но, как показывает табл. 2, ошибки 
могут быть настолько большими, что 
линеаризация тут не применима. 

Впрочем, при работе с численной 

моделью нет необходимости в каких-
либо упрощениях (кроме закона (6), 
который использовали просто потому, 
что имеем дело с неким абстрактным 
процессом экструзии).

На рис. 6 представлены переходные 

характеристики САР с первоначальной 
(ошибочной) настройкой 

t

н

 = 2

t

0

 (отме-

тим, что для целевой функции 

С

 = const 

ошибка может быть еще раза в полтора 
больше). По сути, это изменение толщи-
ны изоляции во времени в процессе от-
работки начальной ошибки. При разной 
величине коэффициента усиления 

К

Как видно, при не слишком больших 

К

 переходные характеристики выходят 

на горизонтали, параллельные номина-
лу 

t

0

. Но с большой остаточной ошибкой 

х

. Ее называют статической ошибкой 

САР. А сами такие САР называют стати-
ческими. Ошибка САР неустранима в 
том смысле, что необходима для ее ра-
боты (а именно: для формирования сиг-
нала управления, так как при 

х

 = 0, 

у

 = 0 

и 

Р

 = 0). Но 

х

 уменьшается с ростом 

К

х

 ~1/

К

. Например, при 

К

 = 10 ошибка 

слишком велика, и САР не справляется 
с задачей: 

Z

 уходит под нижнюю грани-

 

Z

0

 

 СУ 

 Э 

ОТК 

П 

 К 

 

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

вре мя  ,  усл.  е д.

т

о

л

щ

ина

 из

о

л

я

ц

ии.

, м

м

10

70

100

30

150

Рис. 6. Структурная схема АСУТП. 

Z

0

 — целевая функция, СУ — система управления, преоб-

разующая ошибку 

x

 = 

Z

0

 — 

Z

 параметра в 

y

 — сигнал управления. 

К

 — усилитель, Э — ис-

полнительный механизм, П — продукт, ОТК — контроль 

Z

 — выходного параметра продукта. 

Внизу — переходные процессы (процессы отработки начальной ошибки выходного параме-
тра продукта) при различных коэффициентах усиления (числа около кривых). Горизонталь-
ная линия — номинал толщины, пунктиры — допуск ± 15%. Cледует обратить внимание на 
увеличение точности работы АСУТП по мере роста К и ухудшение устойчивости переходного 
процесса. 


Page 8
background image

«КАБЕЛЬ-news», февраль 2010

60

Технологии расчетов

ÊÀÁÅËÈ ÑÂßÇÈ

цу допуска. Увеличение 

К

, скажем, до 

30 выправляет ситуацию. И вообще, с 
его ростом растет и точность САР. Но 
растет и ее неустойчивость. Сначала 
в форме «звона» в начале процесса 
(

К

 = 70, 100), а потом (

К

 ≥ 150) — не за-

тухающих колебаний толщины с макси-
мально доступной для механизмов САР 
амплитудой.

Отметим попутно, что такое по-

ведение САР вполне типично. И, к 
слову, для подавления «звона» в цепь 
САР обычно включают специально 
настраиваемые пропорциональные 
интегро-дифференциальные — ПИД-
регуляторы, которые позволяют не 
только увеличить 

К

 и снизить статиче-

скую ошибку САР, но и полностью ее 
подавить. Такие САР называют астати-
ческими. Такое их свойство связано с 
тем, что их СУ реагирует не столько на 
ошибку 

х

, сколько на скорость ее изме-

нения 

dx

/

dt

. И тогда сигнал управления 

у

 ≠ 0, даже если 

х

 = 0. Численно моде-

лировать работу ПИД-регуляторов не 
представляет особого труда. 

Если же, как показано на рис. 6, ре-

гулирование приводит к тому, что тол-
щина 

t

 выходит за рамки допуска (на ри-

сунке — горизонтальные пунктиры), то 
указанные части продукта — брак. Так 
что, помимо прочего, рисунок показы-
вает, насколько важна правильная на-
чальная настройка экструдера. То есть 
попадание 

t

н

 в окно допуска: тогда при 

правильном выборе 

К

 вся переходная 

характеристика ляжет в допуск. Приме-
нение же приближений наподобие (3) 
и (4) практически неизбежно приведет 
к отбраковке начальных участков кабе-
лей связи.

Конечно, для ликвидации этой 

ошибки можно ввести поправочные 
эмпирические коэффициенты, как это 
всегда делалось в кабельных расчетах. 
Но тогда гораздо лучше воспользовать-
ся старыми традиционными выражени-

ями (1,2), в которых следует подставить 
ln (2

b

/

a

). Без конформных и иных затей, 

которые в таком случае совершенно те-
ряют смысл. 

Выводы

 

Исследования, проведенные в 

СамГТУ, ценны тем, что еще раз, и весь-
ма весомо, подтверждают выводы, сде-
ланные в работах [6, 7] и других: надо 
оставить Истории все, без исключения, 
приближенные методы расчета па-
раметров кабельных изделий. Так как 
результат даже самой изысканной изо-
бретательности в их «улучшении» вряд 
ли оправдает затрачиваемые на это 
усилия. И может даже привести к об-
ратному эффекту. 

Мы еще раз убеждаемся в том, что 

для действительно серьезных кабель-
ных расчетов и адекватного управле-
ния производственными процессами 
не обойтись без моделирования элек-
тромагнитных полей кабельных струк-
тур из «первых принципов». Тем паче, 
что кабельщики получили надлежащий 
для этого инструментарий. Например, 
цифровые автоматы [12], которые по-
зволяют получать результаты на мно-
го порядков быстрее и точнее любых 
традиционных методик, и для любой 
мыслимой конструкции кабельного из-
делия. 

Конформные же отображения, ко-

нечно, — полезный инструмент, но его 
возможности весьма ограничены. И в 
кабельных расчетах его целесообразно 
использовать лишь в качестве вспомо-
гательного средства. 

Литература

1. Чостковский Б.К., Смородинов Д.А. 

Математическая модель витой пары радиоча-

стотного кабеля объекта управления. Вестн. 

Сам. гос. техн. ун-та. Физ.-мат. Науки. — 2008, 

№1(16), С. 113—118, ISSN 19918615

2. Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Расчет 

межпроводной индуктивности и емкости 

симметричных прямых пар методами кон-

формных отображений и конечных элемен-

тов. «КАБЕЛЬ-news», №3 (13), 2007, С. 30—36.

3.  Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский 

М.Г. Расчет электрической емкости. — Л.: 

Энергоиздат, 1981.

4.  Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет 

индуктивностей. — Л: Энергоатомиздат, 1986.

5. Власов В.Е., Парфенов Ю.А. Кабели 

цифровых сетей электросвязи. Конструи-

рование, технологии, применение. — М: 

Эко-Трендз, 2005.

6.  Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Несостоя-

тельность некоторых традиционных методов 

расчета емкостных параметров триад и трех-

фазных кабелей. «КАБЕЛЬ-news», №12. 1. 2008, 

С. 44—48.

7.  Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Влияние 

скрутки на межпроводниковую емкость витых 

пар и триад. «КАБЕЛЬ-news», №4, 2007, С. 22—27.

8.  Вишняков Е.М., Хвостов Д.В. Влияние 

скрутки и других нарушений осевой симме-

трии кабельных конструкций на скорость 

распространения сигнала. «КАБЕЛЬ-news», 

№6—7, 2007, С. 48—54.

9. Рекомендации по проектированию 

систем FieldBus Foundation — FF AG-181 реви-

зия 2.0 2004 

10. ГОСТ 52350.27-2005 Концепция искро-

безопасной системы полевой шины (FISCO) 

концепция невоспламеняющей системы по-

левой шины (FNICO).

11. Леонов В.М., Пешков И.В., Рязанов И.Б., 

Холодный С.Д. Основы кабельной техники. — 

М: Академия, 2006. 

12.  Хвостов Д.В., Вишняков Е.М., Никулин 

А.В. Цифровой автомат для расчета кабелей 

из «первых принципов». «КАБЕЛЬ-news», №5, 

2009, С. 74—78.

Особо хотим поблагодарить 

всех, кто принял живое участие 
в обсуждении изложенной темы 
на кабельном форуме RusCable.Ru 
(http://www.ruscable.ru/interactive/
forum/show_msg-79816.html).


Оригинал статьи: Производство кабелей связи и конформные отображения

Читать онлайн

Недавно исследователи Самарского государственного технического университета — СамГТУ сообщили о своем опыте применения конформных отображений для построения математической модели автоматической системы управления технологическими процессами — АСУТП в кабельном производстве. В частности, экструзионного нанесения изоляции на жилы витых пар.

Поделиться:

«ЭЛЕКТРОЭНЕРГИЯ. Передача и распределение»