48
48
качество электроэнергии
Преобразование Лапласа
в задаче оценки
несинусоидальности
напряжения и тока
УДК 621.316.13
Дворкин Д.В.,
к.т.н., ведущий специалист
Отдела развития энергетических
систем АО «НТЦ ЕЭС Развитие
энергосистем»
Иванченко М.А.,
главный эксперт АО «АТС»
Ключевые слова:
качество электрической энергии,
несинусоидальность тока,
преобразование Лапласа,
высшие гармоники тока, батарея
статических компенсаторов
В настоящее время в России и мире в задаче оценки несинусоидальности
кривой электрического тока (напряжения) доминирующим является матема
-
тический аппарат на базе представления функции в виде суммы ряда Фурье,
в рамках которого периодический негармонический сигнал тока (напряжения)
представляется в виде периодических гармонических сигналов нарастающих
частот и постоянной составляющей. После преобразования исходного сигнала
в целях практической применимости традиционного подхода отбрасываются со
-
ставляющие, чьи частоты выше некоторого порогового значения (нормативное
ограничение), а оставшийся набор высших гармонических сигналов сравни
-
вают с сигналом основной частоты (50 или 60 Гц — в зависимости от региона)
по амплитуде. Данная методика начала применяться с 1967 года в СССР, не
-
сколько раньше была взята за основу во многих странах Европы, Японии и США
и используется в современной России, хорошо себя зарекомендовав. Тем не
менее, ключевым недостатком данного подхода является инструментальная
необходимость пренебрежения гармониками высоких частот, что в отдельных
случаях может существенно влиять на значение одного из нормативных по
-
казателей — коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения
(total harmonic distortions) — и на уровень методической погрешности. В статье
предложен альтернативный подход в оценке этого показателя, базирующийся
на преобразовании Лапласа, чья математическая основа не требует пренебре
-
жения никакими гармоническими составляющими для практического приме
-
нения. Проведено математическое моделирование, подтверждающее адекват
-
ность предложенной методики, и рассмотрено влияние основных факторов на
методическую погрешность традиционного и альтернативного подхода.
В
современной энергетике РФ вопросы обеспечения
потребителей электрической энергей должного каче-
ства стоят достаточно остро. В необходимости под-
держания высокого качества электрической энергии
(КЭЭ) на данный момент сомнений нет ни у одного из участ-
ников рынка, поскольку цена низкого качества хорошо извест-
на. Так, британский ученый Дэвид Чэпмэн в своем исследо-
вании [1] в начале тысячелетия подсчитал потенциальные
экономические издержки, связанные с поставкой потребителю
электроэнергии ненадлежащего качества, которые начина-
ются от десятков тысяч евро на предприятиях с низкой сте-
пенью электрификации основных производственных цепочек
(сельское хозяйство и животноводство) до миллионов евро
в сфере финансов и высокотехнологичных производств. По-
мимо очевидных на сегодняшний день сугубо экономических
причин необходимости обеспечения высокого КЭЭ, суще-
ствуют также и нормативные требования в различных стра-
нах. В РФ в 2003 году введен в действие Федеральный закон
«Об электроэнергетике» № 35-ФЗ от 26.03.2003 г., который
прямо говорит, что «поставщик обязуется поставить покупате-
лю электрическую энергию, соответствующую обязательным
49
49
требованиям, в определенном количестве и опре-
деленного качества». В свою очередь, под «опреде-
ленным качеством» следует понимать соответствие
фактических характеристик электрической энергии
нормативным величинам — показателям качества
электроэнергии (ПКЭ), которые в РФ диктует ГОСТ
32144-2013 «Электрическая энергия. Совмести-
мость технических средств электромагнитная. Нор-
мы КЭЭ в системах электроснабжения общего на-
значения». Исходя из сказанного, можно заключить,
что совокупность экономических причин в усло-
виях проработанной нормативной базы позволила
с годами выработать консенсус в понимании необ-
ходимости поддержания КЭЭ на высоком уровне
и разработать методические рекомендации по прак-
тической оценке фактических значений ПКЭ.
В части оценки степени искажения синусоидаль-
ности кривой напряжения ГОСТ 32144-2013 опреде-
ляет два основных ПКЭ:
1. Суммарный коэффициент искажения синусои-
дальности кривой напряжения, характеризующий
кумулятивный негативный эффект всех рассма-
триваемых высших гармоник напряжения в узле
контроля КЭЭ,
K
U
.
2. Коэффициент гармонической составляющей по-
рядка
n
, характеризующий влияние отдельной
рассматриваемой высшей гармоники напряже-
ния,
K
U
(
n
)
.
Для определения этих величин традиционно ис-
пользуется разложение функции в ряд Фурье. Важно
подчеркнуть, что хотя актуальная нормативная до-
кументация в узлах сети определяет ПКЭ для пара-
метра напряжения, представленные выше ПКЭ спра-
ведливо использовать и для высших гармоник тока,
поскольку используемый математический аппарат
не исключает аналогичного разложения и для функ-
ций тока. Поэтому в дальнейшем обозначения рас-
сматриваемых коэффициентов для токов приняты
аналогичными
K
I
и
K
I
(
n
)
.
В рамках данной статьи интерес представляет
оценка суммарного коэффициента искажения сину-
соидальности кривой тока, а оценка коэффициентов
по отдельным составляющим не рассматривается.
Как уже было сказано, в основе определения фак-
тического значения
K
U
лежит преобразование ана-
литической функции напряжения в ряд Фурье [2, 3].
Аналогично, коэффициент
K
I
определяется по выра-
жению:
____________
K
I
=
THD
=
(
√
∑
n
l
= 2
I
l
2
/
I
1
)
∙ 100%,
(1)
где
THD
(total harmonic distortion) — распространен-
ный в англоязычной литературе способ обозначения
K
I
или
K
U
;
l
— порядок исследуемой гармонической
составляющей,
n
— порядок высшей из рассматри-
ваемых гармонических составляющих,
I
1
— действу-
ющее значение (RMS — root mean square) основной
частоты исходного сигнала (в целях упрощения даль-
нейшего анализа принимается равным
f
1
= 50 Гц).
К главному достоинству такого подхода следует
отнести его математическую строгость, поскольку
выражение (1) не является допущением, а базиру-
ется на свойствах исходного периодического сигна-
ла (на примере периодического несинусодального
сигнала, который содержит высшие гармоники 5-го
и 7-го порядка
i
(
ω
t
) =
i
5
(
ω
t
) +
i
7
(
ω
t
):
1
2
π
I
2
= —
∫
i
2
(
ω
t
)
d
ω
t
=
2
π
0
1
2
π
= —
∫
(
I
5
sin
(5
ω
t
+
j
5
) +
I
7
sin
(7
ω
t
+
j
7
)
)
2
d
ω
t
=
2
π
0
= (
π
I
5
2
+
π
I
7
2
) / 2
π
–
(2)
– (
I
5
I
7
/ 2
π
)
∙
(
sin
(4
π
+
j
5
–
j
7
) –
sin
(
j
5
–
j
7
)
)
/ 2
π
–
– (
I
5
I
7
/ 2
π
)∙
(
sin
(24
π
+
j
5
+
j
7
) –
sin
(
j
5
+
j
7
)
)
/ 12
π
=
_________________
= (
I
5
2
+
I
7
2
) / 2 →
I
= √(
I
5
2
+
I
7
2
) / 2.
Из (2) видно, что, поскольку решения
sin
(4
π
+
j
5
–
j
7
) =
sin
(
j
5
–
j
7
) и
sin
(24
π
+
j
5
+
j
7
) =
sin
(
j
5
+
j
7
) выполняются при любых сочетаниях на-
чальных фаз высших гармонических составляющих,
действующее значение несинусоидального периоди-
ческого сигнала всегда можно определить на осно-
вании только действующих значений гармонических
составляющих, полученных путем разложения в ряд
Фурье.
В свою очередь, главным недостатком изложен-
ного подхода является инструментальная невы-
полнимость решения выражения (1) при
n
=
∞
или
просто при очень большом значении, то есть прак-
тическая трудоемкость учета большого количества
гармонических составляющих, что вынуждает отбра-
сывать ряд гармоник порядка больше
n
. Хотя в ряде
случаев такое допущение оправдано (например, при
снижении амплитуды гармонических составляющих
с ростом их частоты), при определенных условиях
оно может приводить к значительному росту методи-
ческой погрешности при определении
K
I
(оценочное
значение будет занижено по сравнению с реальным).
При этом в режимах без резонансов погрешность
можно принимать незначительной, а при резонансах
на частотах выше нормативных значений может су-
щественно расти.
В силу вышесказанного авторами рассмотрен
альтернативный подход в решении задачи оценки
коэффициента
K
I
, который не требует описанного
допущения, а значит, способен точнее оценивать
фактический уровень искажения синусоидальности
кривой тока (напряжения).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Математические основы преобразования Лапласа
детально разобраны в учебно-методическом посо-
бии радиофизического факультета ННГУ [4–6], по-
этому в данной статье преобразование Лапласа
описывается только в рамках поставленной зада-
чи — оценки несинусоидальности кривой тока.
В рамках поставленной задачи необходимо пре-
образовать исследуемый исходный сигнал — ориги-
нал — в его изображение по Лапласу:
f
(
t
) .=
.
F
(
p
),
(3)
которое, в свою очередь, удобно анализировать в опе-
раторной форме.
№ 1 (70) 2022
50
Следует отметить, что задача формализации про-
цесса поиска изображения сложной функции для по-
следующего анализа операторным методом была
проведена в [7, 8]. Поэтому в настоящей статье сразу
приводится ключевой вывод:
x
'
(
τ
) = –
∑
m
k
= 1
P
k
∙
B
∙
J
(
λ
k
,
τ
),
(4)
где
J
(
λ
k
,
τ
) — матрица-столбец — операторное изо-
бражение источников тока рассматриваемой цепи со
сдвигом начальной фазы сигнала
τ
;
B
— матрица па-
раметров цепи, зависящая от топологии источников
тока в схеме;
P
k
— проектор матрицы
A
, определя-
емый параметрами схемы замещения сети для каж-
дого собственного числа
λ
k
матрицы
A
.
При этом собственные числа
λ
k
отражают частот-
ные свойства рассматриваемой электрической схе-
мы, тем самым учитываются возможные резонансы
токов между источником тока с нелинейной вольт-
амперной характеристикой и внешней сетью.
По выражению (4) определяется действующее
значение периодической функции тока (напряжения)
всех высших гармоник исходного сигнала (
x
'
=
I
'
). Зная
его, можно определить значение
K
I
по выражению:
_____________
K
I
= √(
I
'
2
–
I
1
'
2
) /
I
1
,
(5)
где
I
1
'
— действующее значение тока основной ча-
стоты, обусловленное работой несинусоидального
источника тока;
I
1
— действующее значений тока ос-
новной частоты исходного анализируемого сигнала.
Далее, в рамках данной статьи, значение сум-
марного коэффициента искажения синусоидаль-
ности кривой тока, определяемого по разложению
в ряд Фурье (выражение (1)), обозначается как
K
I
(Ф)
,
а определяемого по преобразованию Лапласа (вы-
ражение (5)), обозначается как
K
I
(Л)
.
Интерес представляет оценка методической по-
грешности традиционного подхода, связанного с не-
обходимостью пренебрежения гармониками порядка
выше
n
, которая рассчитывается по выражению:
δ
K
I
= (
K
I
(Л)
–
K
I
(Ф)
) /
K
I
(Ф)
∙100% > 0.
(6)
При этом из характера неравенства (6) видно, что
условие
K
I
(Л)
>
K
I
(Ф)
выполняется всегда, а значение
K
I
(Ф)
, определяемого по разложению в ряд Фурье,
принято за эталон.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОПИСАНИЕ
СХЕМЫ ЭКСПЕРИМЕНТА
Помимо инструментальной невозможности расчета
по выражению (1) при принятии
n
=
∞
, актуальной
проблемой также является формирование эквива-
лентной схемы исследуемой сети с ростом частоты
рассматриваемой гармоники.
Так, при рассмотрении гармоник сравнительно
низких частот (кГц и МГц) справедливо применение
телеграфных уравнений, которые в задаче оценки
несинусоидальности напряжения в реальной энер-
госистеме на протяжении длительного времени счи-
таются классическим инструментом. Применительно
к актуальной нормативной базе телеграфные урав-
нения позволяют очень точно оценить частотные
свойства рассматриваемой энергосистемы. То есть
на частотах до 2000–2500 Гц (нормативная база (как
отечественная, так и зарубежная) в ретроспективе
20 лет варьирует значение
n
от 40 до 50) применение
классического подхода по ТОЭ (линейные источники
тока заданных частот и традиционные схемы заме-
щения основного силового оборудования энергоси-
стемы) [9] в задаче построения эквивалентной элек-
трической схемы замещения оправдано.
При необходимости учета гармоник сравнительно
больших частот (в диапазоне выше МГц) возникает
необходимость учета влияния целого ряда факторов:
1. Поверхностный эффект при протекании по про-
воднику высокочастотного тока, который суще-
ственно влияет на значение активного сопротив-
ления проводов линий электропередачи ЛЭП.
2. Емкостные и индуктивные сопротивления под-
станционного оборудования, например, индуктив-
ности ошиновок ЛЭП.
3. Образование новых расчетных контуров за счет
емкостных шунтов.
4. Взаимосвязь амплитуд токов и напряжений в сети
и резонансных частот.
Следует отметить, что заметное влияние первых
трех из перечисленных факторов также возможно
и при рассмотрении кГц диапазона выше 2500 Гц. То
есть, используя нормативный подход при оценке
K
I
,
возможен неучет влияния гармоник частотой выше,
что на практике может привести к методической по-
грешности анализа, например, в силу резонанса на
частотах свыше 2500 кГц. При этом учет этих факто-
ров на практике может быть существенно затруднен
даже при анализе сравнительно узкого диапазона
частот (например, до 10 кГц). В рассмотренной се-
рии экспериментов учитывался только кГц-диапазон.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
С учетом сказанного для нижеописанной экспери-
ментальной схемы формируется следующий сцена-
рий эксперимента:
1. Для заданного периодического несинусоидаль-
ного сигнала, имитирующего работу нелинейной
нагрузки в схеме, проводится гармонический ана-
лиз токов высших гармоник порядка
n
≤ 50. Таким
образом обеспечивается оценка
K
I
(Ф)
так, как она
бы проводилась на практике, то есть согласно ак-
туальному ГОСТ. При этом необходимости учета
вышеперечисленных факторов нет.
2. Для заданного периодического несинусоидально-
го сигнала проводится преобразование Лапласа,
что позволяет обойтись без гармонического ана-
лиза, который связан с трудностями на частотах
выше 2500 кГц. Таким образом обеспечивается
оценка
K
I
(Л)
так, как если бы она проводилась на
основе гармонического анализа для частот выше
2500 Гц при необходимоти учета вышеописанных
факторов (поверхностный эффект и пр.).
Результат сравнения полученных величин по вы-
ражению (6) позволит судить о методической по-
грешности оценки несинусоидальности кривой тока
на основе разложения Фурье, вызванном необходи-
мостью исключения из рассмотрения гармоник по-
рядка
n
> 50.
КАЧЕСТВО
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
51
ХАРАКТЕРИСТИКА
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ СХЕМЫ
НА ЧАСТОТАХ ДО 2,5 КГЦ
В рамках экспериментов рассматривалась
простейшая сеть (рисунок 1): идеальный ис-
точник питания (ИП), линия электропередачи
(ЛЭП), подстанция (ПС) с одним трансфор-
матором (Т
1
), питающим нелинейную на-
грузку (Н) через преобразовательный транс-
форматор (Т
2
). Для поддержания заданного
значения
tg
j
в точке общего присоединения
подстанции (ТОП) установлена конденсатор-
ная батарея (КБ). Стоит отметить, что чем
точнее и подробнее исходная схема заме-
щения сети, в части замещения элементов
на частотах различных гармоник, тем точнее
конечный результат. Это справедливо как
для рассматриваемой методики расчета ко-
эффициента несинусоидальности, так и для
традиционной — использующей разложение
в ряд Фурье.
Особенностью данной схемы является
диаметрально противоположное влияние
конденсаторной батареи на уровень тока
в точке общего присоединения подстанции
на основной частоте и на частотах высших
гармоник.
Так на основной частоте, когда конденса-
торная батарея выполняет функцию поддер-
жания заданного уровня
tg
j
, значение тока
в точке общего присоединения определяется
исходя из выражения:
I
̇
ТОП(1)
=
U
̇
ИП
/
Z
̇ ,
(7)
где
Z
̇ — это сопротивление нагрузки источ-
ника питания, который определяется по вы-
ражению:
(
Z
̇
эк(1)
+
jX
T
1
(1)
) ∙
Z
̇
п(1)
——
+
Z
̇
пр(1)
∙
Z
̇
п(1)
Z
̇
эк(1)
+
jX
T
1
(1)
+
Z
̇
п(1)
Z
̇ =
———
+
jX
ИП(1)
.
(8)
(
Z
̇
эк(1)
+
jX
T
1
(1)
) ∙
Z
̇
п(1)
——
+
Z
̇
пр(1)
+
Z
̇
п(1)
Z
̇
эк(1)
+
jX
T
1
(1)
+
Z
̇
п(1)
В (8) переменная
Z
эк(1)
представляет собой эк-
вивалентное сопротивление всей нагрузки транс-
форматора Т
1
, включая конденсаторную батарею,
и определяется согласно выражению:
jX
КБ(1)
∙ (
jX
T
2
(1)
+
jX
Н(1)
)
Z
̇
эк(1)
= –
——
.
(9)
jX
T
2
(1)
+
jX
Н(1)
–
jX
КБ(1)
Из (7–9) видно, что с ростом выдаваемой реак-
тивной мощности конденсаторной батареи, то есть
с ростом ее емкости (
C
) и снижения емкостного со-
противления, эквивалентное сопротивление нагруз-
ки трансформатора Т
1
снижается (в пределе — до
нуля, если
X
КБ(1)
→ 0, но данный случай граничный
и не рассматривается), а вместе с этим растет дей-
ствующее значение тока в точке общего присоеди-
нения на основной частоте. Напротив, при снижении
выдаваемой реактивной мощности в сеть, то есть со
снижением ее емкости и ростом емкостного сопро-
тивления, действующее значение тока основной ча-
стоты в ТОП снижается.
В свою очередь, на частоте гармоники порядка
l
идеальный источник питания отсутствует, нелиней-
ная нагрузка представляется либо эквивалентным
источником тока, либо эквивалентным источником
электродвижущей силы (ЭДС), обеспечивающим пи-
тание цепи на рассматриваемой частоте. Действу-
ющее значение тока в точке общего присоединения
в данном случае определяется по выражению:
I
̇
ТОП(
l
)
=
J
̇
(
l
)
(–
jX
КБ(
l
)
/ (
Z
̇
'
(
l
)
–
jX
КБ(
l
)
),
(10)
в котором переменная
Z
'
(
l
)
соответствует сопротивле-
нию внешней сети:
jX
ИП(
l
)
∙
Z
̇
п(
l
)
——
+
Z
̇
пр(
l
)
∙
Z
̇
п(
l
)
jX
ИП(
l
)
+
Z
̇
п(
l
)
Z
̇
'
(
l
)
=
———
+
jX
T
1
(
l
)
.
(11)
jX
ИП(
l
)
∙
Z
̇
п(
l
)
——
+
Z
̇
пр(
l
)
+
Z
̇
п(
l
)
jX
ИП(
l
)
+
Z
̇
п(
l
)
Из (10) видно, что с увеличением емкости конден-
саторной батареи, то есть ростом выдачи реактивной
мощности на основной частоте, действующее значе-
ние тока в точке общего присоединения снижается
(емкостное сопротивление конденсаторной батареи
на частоте гармоники порядка
l
снижается). Напро-
тив, при снижении выдаваемой реактивной мощно-
X
ИП(
l
)
Z
пр(
l
)
X
T
1
(
l
)
X
T
2
(
l
)
X
Н(
l
)
X
КБ(
l
)
I
ТОП(
l
)
Z
п(
l
)
Z
п(
l
)
J
(
l
)
U
ИП
X
ИП(1)
Z
пр(1)
X
T
1
(1)
X
КБ(1)
I
ТОП(1)
Z
п(1)
Z
п(1)
Т
1
Т
2
КБ
ТОП
Н
ИП
ЛЭП
X
T
2
(1)
X
Н(1)
Рис. 1. Принципиальная схема исследуемой сети (вверху),
электрическая схема замещения исследуемой сети на основной
частоте (по центру) и на частоте рассматриваемой гармони
-
ки (внизу)
№ 1 (70) 2022
52
сти на основной частоте действующее значение тока
в точке общего присоединения растет (вплоть до
значения
J
(
l
)
, когда батарея отключена, а
X
КБ(
l
)
→ 0).
Иными словами, установка конденсаторной бата-
реи не только позволяет поддержать заданный уро-
вень
tg
j
, но и повысить КЭЭ в точке своего подклю-
чения [10–14].
Важно подчеркнуть, что хотя использование кон-
денсаторной батареи в данном качестве возможно,
ее перегрузка токами высших гармоник недопусти-
ма, а значит, для применения батареи для снижения
уровня несинусоидальности тока (напряжения) не-
обходимо соблюдение ряда схемно-режимных усло-
вий, которые описаны в [11].
Помимо сказанного, конденсаторная батарея,
включенная параллельно с нелинейной нагрузкой,
может непредсказуемо повлиять на условие возник-
новения резонансных явлений на различных часто-
тах:
jX
T
2
(
l
)
+
jX
Н(
l
)
= –
jX
КБ(
l
)
∙
Z
̇
'
(
l
)
/ (
Z
̇
'
(
l
)
–
jX
КБ(
l
)
).
(12)
Так, при рассмотрении определенного набора
гармонических составляющих вплоть до порядка
n
вполне возможен контроль параметров эквивалент-
ной схемы замещения, но на всех частотах гармоник
порядка выше
n
отследить выполнение условия резо-
нанса напряжения во внешней сети инструментально
невыполнимо. При выполнении условия (12) на часто-
те гармоники
l
>
n
возможен резкий рост действующе-
го значения тока в точке общего присоединения. При
этом расчетное значение
K
I
(Ф)
по выражению (1) будет
существенно ниже реального (относительная погреш-
ность может достигать сотен процентов). Иными сло-
вами, определение
K
I
(Л)
по выражению (5) в рассма-
триваемой схеме предпочтительнее.
ХАРАКТЕР НЕЛИНЕЙНОЙ НАГРУЗКИ
В проведенных экспериментах ток нагрузки задавал-
ся сигналом сложной, разрывной, трапециевидной
формы (рисунок 2).
Для описания этого сигнала удобно представить
его изображения по Лапласу для отдельных участков
(таблица 1,
I
0
= 32 A).
В схеме замещения нагрузка с нелинейной вольт-
амперной характеристикой представлена источником
тока. Данный подход широко распространен при ре-
шении подобных задач, так как эквивалентное сопро-
тивление нагрузки реальных систем, особенно при
наличии высших гармонических составляющих, мно-
го больше сопротивления линий и трансформаторов,
что позволяет использовать принцип суперпозиции.
Следует отметить, что при разложении в ряд Фурье
рассматриваемой функции тока и расчете
K
I
(Ф)
учиты-
вались гармоники порядка
n
≤ 50, что перекрывает
требования актуальной редакции ГОСТ 32144-2013.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОЦЕНКИ
НЕСИНУСОИДАЛЬНОСТИ ТОКА
С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛАПЛАСА
В рамках проведенных экспериментов емкость, а зна-
чит и мощность конденсаторной батареи, варьи-
ровалась в широком диапазоне значений — от 0 до 75
мкФ (значение
X
КБ(1)
изменялось в диапазоне от +
∞
до
0 соответственно). При этом были построены графики
(рисунок 3) функций в (1) и (5) для рассматриваемого
диапазона (
K
I
(Ф)
и
K
I
(Л)
соответственно). Текущие ре-
зультаты позволяют сделать следующие выводы:
1. Во всем рассмотренном диапазоне изменения
значений емкости конденсаторной батареи на-
блюдается недооценка значения суммарного ко-
эффициента искажения синусоидальности кри-
Рис. 2. Форма тока нелинейной нагрузки
I
, A
t
0,75
T
T
0,5
T
0,25
T
I
0
Табл. 1. Изображения по Лапласу временной функции
тока нелинейной нагрузки на различных участках
1
τ
2
Изображение по Лапласу
3
[0; 0,57
a
]
1383 ∙
I
0
∙
e
p
τ
J
1
=
—
∙
F
(
p
)
p
2
∙(1 –
e
–
pT
)
[0,57
a
;
a
]
J
2
=
J
1
+ 1383 ∙
I
0
∙ (1 –
e
p
(
τ
– 0,57
a
)
) /
p
2
+
+
I
0
∙ (1383
τ
– 1,325) /
p
[
a
; 5
a
]
J
3
=
J
2
+ 1383 ∙
I
0
∙ (
e
p
(
τ
–
a
)
– 1) /
p
2
+
+
I
0
∙ (1383
τ
– 2,325) /
p
[5
a
; 5,43
a
]
J
4
=
J
3
+ 1383 ∙
I
0
∙ (
e
p
(
τ
– 5
a
)
– 1) /
p
2
–
–
I
0
∙ (1383
τ
– 11,62) /
p
[5,43
a
; 6
a
]
J
5
=
J
4
+ 1383 ∙
I
0
∙ (1 –
e
p
(
τ
– 5,43
a
)
) /
p
2
–
–
I
0
∙ (1383
τ
– 12,62) /
p
1
Представлены операторные изображения интервалов первого полупериода.
2
a
=
T
⁄12
— шаг дискретизации рассматриваемого периода функции тока.
3
F
(
p
) =
e
–0,57
pa
–
e
–
pa
–
e
–5
pa
+
e
–5,43
pa
–
e
–6,57
pa
+
e
–7
pa
+
e
–11
pa
–
e
–11,43
pa
Рис. 3. Результаты расчета значений
K
I
на основе ряда
Фурье
(
K
I
(Ф)
)
и преобразования Лапласа
(
K
I
(Л)
)
при изме
-
нении значения емкости конденсаторной батареи
5
10
15
20
25
30
35
40
0
50
100
150
200
250
C
, мкФ
K
I
, %
K
I
(Ф)
(
n
= 50)
K
I
(Л)
КАЧЕСТВО
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
53
вой тока на основе ряда Фурье по сравнению со
значением на основе преобразования Лапласа.
Этот результат подтверждает ранее сделанный
теоретический вывод о значительном влиянии на
методическую погрешность допущения о возмож-
ности пренебрежения гармониками порядка
l
>
n
.
2. В условиях резонанса (C ≈ 13 мкФ и C ≈ 6 мкФ)
на частотах гармоник методическая погреш-
ность принимает крайне существенные значения,
вплоть до 380% (рисунок 4).
Следует отметить, что полученные результаты ха-
рактерны для данной схемы и для данной сложной
формы кривой потребляемого тока, которая исполь-
зована намеренно в целях демонстрации влияния на
итоговый результат определяющих величин.
В зависимости от рассматриваемой формы кри-
вой относительная погрешность может принимать
существенно меньшие значения (при рассмотрении
кривой тока, описываемой более типовыми сигнала-
ми). Например, при рассмотрении кусочно-постоян-
ной функции (рисунок 5).
В данном случае рассмотрение только 50 гармо-
ник будет достаточным для высокой точности опре-
деления действующего значения сигнала (выбросы
на фронтах сигнала связаны с проблемами сходи-
мости ряда Фурье в точках разрыва и не оказывают
заметного влияния), то есть погрешность, опреде-
ленная по выражению (6), будет стремиться к при-
емлемым для прикладных расчетов значениям.
Необходимо также учесть, что в рассматривае-
мом эксперименте нелинейная нагрузка была един-
ственной подключенной к подстанции и в наиболь-
шей степени определяла форму кривой тока в точке
общего присоединения. В реальной энергосистеме
количество потребителей, подключенных к подстан-
ции, значительно больше, то есть форма кривой тока
в точке общего присоединения значительно ближе
к синусоидальной и легче поддается описанию ти-
повыми формами сигнала (прямоугольным, пило-
образным, треугольным и т.д.).
ПРАКТИЧЕСКАЯ ПРИМЕНИМОСТЬ
РАЗЛОЖЕНИЯ ЛАПЛАСА В ЗАДАЧЕ
ОЦЕНКИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОСТИ ТОКА
И ЕГО ПРЕИМУЩЕСТВА
С учетом особенностей предлагаемого метода сле-
дует описать область его применения. В общем виде
Рис. 5. Описание прямоугольного сигнала рядом Фурье
(
n
= 50)
I
, A
t
0,75
T
T
0,5
T
0,25
T
I
0
Рис. 4. Изменение относительной погрешности рас
-
чета значения
(
K
I
(Ф)
)
по выражению (6) при изменении
значения емкости конденсаторной батареи
0
50
100
150
200
250
300
350
KI
, %
5
10
15
20
25
30
35
40
C
, мкФ
Санкт-Петербургское
научно-производственное
объединение
АО «Полимер-Аппарат»
разрабатывает и производит
www.polymer-apparat.ru
тел./факс: (812) 331-40-40
(многоканальный)
Для любого класса
напряжений от 0,22 кВ до 750 кВ
Гарантия до 10 лет
Срок службы 30 лет
Для комплектации ограничителей
используются варисторы
различных диаметров и толщин
производства фирмы
EPCOS (Германия)
Возможно изготовление ОПН
с любым наибольшим
длительно допустимым
рабочим напряжением
Вся продукция прошла
полный комплекс испытаний
в лабораториях ОАО «НИЦ ВВА»,
ОАО «НИИПТ», ОАО «НИИВА»
НЕЛИНЕЙНЫЕ
ОГРАНИЧИТЕЛИ
ПЕРЕНАПРЯЖЕНИЙ
(ОПН)
научно-производственное объединение
АО «Полимер-Аппарат»
На прав
ах рек
ламы
№ 1 (70) 2022
54
справедливо заключить, что применимость предла-
гаемого анализа на основе преобразования Лапласа
пропорциональна наблюдаемости исследуемой сети
или ее модели. То есть чем больше информации о па-
раметрах сети, тем целесообразнее применение пре-
образования Лапласа в рамках описанной задачи.
Например, для определения действующего зна-
чения периодической функции тока по выражению
(4) необходимо сформировать матрицу параметров
цепи
B
и проектор матрицы
A
(
P
k
), которые зависят
от параметров схемы, а значит и от ее собственных
чисел. На практике эта задача может быть затруд-
нена (например, в сложно-замкнутых неоднородных
сетях).
Однако для рассмотренной схемы ПС с БСК и эк-
вивалентной нагрузкой (или группой нагрузок — на
рисунке 1) определение параметров схемы на прак-
тике выполнимо. Если речь идет об относительно
новых ПС, которые характеризуются низким числом
вынужденных ремонтов оборудования (установка ка-
бельных муфт в питаемых фидерах, нормально ра-
ботающие выключатели, трансформаторы с низкой
эмиссией гармонических токов и т.д.), то паспортных
данных основного оборудования вполне достаточно
для формирования эквивалентной схемы замеще-
ния сети.
Аналогично для проведения лабораторных экспе-
риментов предлагаемый метод состоятелен, так как
в условиях эксперимента наблюдаемость модели
максимально возможная и составляет 100%.
Иными словами, справедливо полагать, что в ре-
альной практике определение собственных чисел
схемы возможно. В этих условиях использование
предлагаемого метода дает исследователю преиму-
щество при анализе КЭЭ в рассматриваемой сети.
Пусть в рамках проекта по оценке или повышению
КЭЭ рассматривается реальная ПС, близкая к рас-
смотренной на рисунке 1. Пусть необходимо оценить
значения
K
U
(
n
)
и
K
U
согласно ГОСТ 32144-2013, а так-
же значения
K
I
(
n
)
и
K
I
для
n
≤ 40. Если по результатам
анализа значения коэффициентов
K
U
(
n
)
и
K
U
оказы-
ваются в рамках нормативных, а
K
I
(
n
)
и
K
I
— в рамках
допустимых для оборудования, это не означает, что
оборудование не подвержено негативному влиянию
от действия токов высших гаромник порядка
n
> 40.
Если схема замещения на частоте гармоники
n
= 37
близка по значениям к параметрам на частоте гармо-
ники порядка
n
= 41, что вполне возможно, ток этой
нерассмотренной гармоники может дополнительно
перегружать БСК, что, в свою очередь, может выве-
сти ее из работы.
В данной ситуации применение предложенного
метода позволяет ответить на вопрос о целесообраз-
ности рассмотрения гармоник порядка выше, чем
это требует ГОСТ. Если значение
K
I
(Л)
незначительно
отличается от
K
I
(Ф)
(
n
> 40), то необходимость в до-
полнительном анализе отсутствует. Напротив, если
наблюдается расхождение результатов, в целях со-
хранности БСК целесообразно провести анализ ре-
зонансных частот. Таким образом, при разработке
мероприятий по компенсации искажений синусои-
дальности тока и напряжения предложенный под-
ход позволяет исключить (или, наоборот, указать)
необходимость анализа частот выше нормативных,
так как точно будет известно, оказывают ли высшие
гармоники (
n
> 40) значительное негативное влияние
на оборудование или нет. Очевидно, что подобный
результат имеет практическую значимость для соб-
ственника оборудования, даже если ГОСТ требует
рассмотрения меньшего числа гармонических со-
ставляющих.
При этом при лабораторных экспериментах со
100%-ной наблюдаемостью модели сети предла-
гаемый подход может служить средством дополни-
тельной проверки получаемых в ходе эксперимента
результатов, что позволяет снизить число ошибок
исполнителя и повысить качество проводимого экс-
перимента.
ВЫВОДЫ
1. Показано, что классический подход в оценке ис-
кажения синусоидальности кривой тока на осно-
ве ряда Фурье доказал свою эффективность на
практике на протяжении длительного времени.
При этом описаны условия, когда применение
классического подхода более чем оправдано.
2. Отмечено, что оценка несинусоидальности кри-
вой тока на основе ряда Фурье может давать за-
ниженный результат при рассмотрении сложных
сигналов, которые трудно описать типовыми фор-
мами.
3. Преобразование Лапласа позволяет оценить
фактический уровень искажения синусоидально-
сти кривой тока без необходимости использовать
допущения об упрощении формы кривой тока.
4. При рассмотрении сигналов сложной формы пре-
образование Лапласа предпочтительнее, чем
разложение в ряд Фурье, в задаче оценки неси-
нусоидальности кривой тока ввиду меньшей по-
грешности расчетов.
5. Описаны условия, при которых предлагаемый
метод оценки несинусоидальности тока может
быть полезен как при выполнении реальных про-
ектов, так и при проведении лабораторных экс-
периментов.
6. Для расширения выборки и подтверждения прак-
тической полезности предлагаемой методики
рекомендуется при выполнении проектов по кон-
тролю КЭЭ в реальной энергосистеме проводить
альтернативную проверку результатов с примене-
нием преобразования Лапласа. Это позволит на
практике уточнить реальное число случаев, когда
анализ гармоник свыше нормативных необходим
для сохранения работоспособности оборудова-
ния энергосистемы.
КАЧЕСТВО
ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ
ЛИТЕРАТУРА
1. Чэпмэн Д. Цена низкого качества электроэнергии //
Энергосбережение, 2004, № 1. С. 66–69.
2. ГОСТ 30804.4.7-2013 (IEC 61000-4-7:2009). Межгосу-
дарственный стандарт. Совместимость технических
55
средств электромагнитная. Общее
руководство по средствам измере-
ний и измерениям гармоник и ин-
тергармоник для систем электро-
снабжения и подключаемых к ним
технических средств. URL: https://
docs.cntd.ru/document/1200103652.
3. IEEE 1159-2019 – IEEE Recom-
mended Practice for Monitor-
ing Electric Power Quality. URL:
https://ieeexplore.ieee.org/docu-
ment/8796486.
4. Дубков А.А., Агудов Н.В. Преоб-
разование Лапласа. Учебно-мето-
дическое пособие. Нижний Новго-
род: ННГУ, 2016. 36 с.
5. Деч Г. Руководство по практиче-
скому применению преобразова-
ния Лапласа. Уч. для вузов. М.:
Наука, 1965. 288 с.
6. Corinthios M.J. A generalized trans-
form, grouping, Fourier, Laplace and
Z transforms. The 14th International
Conference on Microelectronics.
13 Dec. 2002. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/1161523.
7. Калугина М.А. Разработка мето-
дов оценки интегральных харак-
теристик
несинусоидальности
в системах электроснабжения для
выбора мероприятий повышения
качества электроэнергии. Диссер-
тация на соискание ученой сте-
пени кандидата технических наук.
М.: НИУ «МЭИ», 1989. 223 с.
8. Ivanchenko M.A., Dvorkin D.V. An
Alternative Approach for THD As-
sessment. 2020 International Youth
Conference on Radio Electronics,
Electrical and Power Engineering
(REEPE), Moscow, Russia, 12-
14 March 2020. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/9059193.
9. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Ко-
ровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теорети-
ческие основы электротехники. Уч.
для вузов в 3-х т. Том 1., 4-е изд.
СПб.: Питер, 2003, 463 с.
10. Sharma Y.K., Vijay M.R. Capacitor
Banks and its Effect on Power Sys-
tem with High Harmonics Loads.
2018 3rd International Conference
for Convergence in Technology
(I2CT), 2018. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/8529671.
11. Костин В.Н., Сериков В.А., Кривен-
ко А.В. Влияние высших гармоник
на качество напряжения и на рабо-
ту конденсаторной батареи в сис-
темах электроснабжения с не-
линейной нагрузкой // Известия
ТулГУ, 2020, № 5. С. 431–440.
12. Bian Q., Huo J., Yang P. Harmonic
Suppression Scheme of Inverter
Based on 5th and 7th Harmonic In-
jection Method. 2020 Chinese Au-
tomation Congress (CAC), 6-8 Nov
2020. URL: https://ieeexplore.ieee.
org/document/9327186.
13. Jiao S., Song W., Feng X. Filter
parameter optimization design of
single-phase LCL-type three-level
rectifier equipped in train for high-
speed-railway harmonic resonance
suppression. 2016 IEEE 8th Inter-
national Power Electronics and Mo-
tion Control Conference (IPEMC-
ECCE Asia), 22-26 May 2016. URL:
https://ieeexplore.ieee.org/docu-
ment/7512706.
14. Bierk H., Benaifa N., Abdel-latif K.M.,
Nowicki E. Elimination of low-order
harmonics in high power medium
voltage inverter applications using
a modified SHE-PWM techniquqу.
2008 40th North American Power
Symposium, 28-30 Sept. 2008. URL:
https://ieeexplore.ieee.org/docu-
ment/5307361.
REFERENCES
1. Chepmen D. Cost of low energy qual-
ity // Energosberezheniye [Energy
Saving], 2004, no. 1, pp. 66-69. (In
Russian)
2. State Standard GOST 30804.4.7-
2013 (IEC 61000-4-7:2009). Elec-
tromagnetic compatibility of tech-
nical equipment. General guide
on harmonics and interharmonics
measuring instruments and mea-
surement, for power supply systems
and equipment connected thereto.
URL: https://docs.cntd.ru/document/
1200103652.
3. IEEE 1159-2019 – IEEE Recom-
mended Practice for Monitoring Elec-
tric Power Quality. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/8796486.
4. Dubkov A.A., Agudov N.V. Laplace
transformation. Study guide. Nizh-
niy Novgorod, National Research
Lobachevsky State University of
Nizhni Novgorod, 2016. 36 p. (In Rus-
sian)
5. Dech G. Laplace transformation ap-
plication guide. Textbook for higher
education. Moscow, Nauka Publ.,
1965. 288 p. (In Russian)
6. Corinthios M.J. A generalized trans-
form, grouping, Fourier, Laplace and
Z transforms. The 14th International
Conference on Microelectronics.
13 Dec. 2002. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/1161523.
7. Kalugina M.A. Development of esti-
mation methods of integral character-
istics of unsinusoidality in power sup-
ply systems for defining measures to
improve the power quality. Ph.D. the-
sis in Engineering Science. Moscow,
National Research University MPEI,
1989. 223 p. (In Russian)
8. Ivanchenko M.A., Dvorkin D.V. An
Alternative Approach for THD As-
sessment. 2020 International Youth
Conference on Radio Electronics,
Electrical and Power Engineering
(REEPE), Moscow, Russia, 12-
14 March 2020. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/9059193.
9. Demirchyan K.S., Neiman L.R., Ko-
rovkin N.V., Chechurin V.L. Theoreti-
cal grounds of electrical engineering.
Textbook for higher education in 3
volumes. Volume 1, 4th edition. Saint-
Petersburg, Piter Publ., 2003, 463 p.
(In Russian)
10. Sharma Y.K., Vijay M.R. Capacitor
Banks and its Effect on Power Sys-
tem with High Harmonics Loads.
2018 3rd International Conference for
Convergence in Technology (I2CT),
2018. URL: https://ieeexplore.ieee.
org/document/8529671.
11. Kostin V.N., Serikov V.A., Kriven-
ko A.V. Higher harmonics impact on
the voltage quality and operation of
the capacitor bank in power supply
systems with non-linear load // News
of Tula State University, 2020, no. 5,
pp. 431-440. (In Russian)
12. Bian Q., Huo J., Yang P. Harmonic
Suppression Scheme of Inverter
Based on 5th and 7th Harmonic Injec-
tion Method. 2020 Chinese Automa-
tion Congress (CAC), 6-8 Nov 2020.
URL: https://ieeexplore.ieee.org/doc-
ument/9327186.
13. Jiao S., Song W., Feng X. Filter pa-
rameter optimization design of single-
phase LCL-type three-level rectifier
equipped in train for high-speed-rail-
way harmonic resonance suppres-
sion. 2016 IEEE 8th International
Power Electronics and Motion Con-
trol Conference (IPEMC-ECCE Asia),
22-26 May 2016. URL: https://ieeex-
plore.ieee.org/document/7512706.
14. Bierk H., Benaifa N., Abdel-latif K.M.,
Nowicki E. Elimination of low-order
harmonics in high power medium
voltage inverter applications using
a modified SHE-PWM techniquqу.
2008 40th North American Power
Symposium, 28-30 Sept. 2008. URL:
https://ieeexplore.ieee.org/docu-
ment/5307361.
№ 1 (70) 2022
Оригинал статьи: Преобразование Лапласа в задаче оценки несинусоидальности напряжения и тока
В настоящее время в России и мире в задаче оценки несинусоидальности кривой электрического тока (напряжения) доминирующим является математический аппарат на базе представления функции в виде суммы ряда Фурье, в рамках которого периодический негармонический сигнал тока (напряжения) представляется в виде периодических гармонических сигналов нарастающих частот и постоянной составляющей. После преобразования исходного сигнала в целях практической применимости традиционного подхода отбрасываются составляющие, чьи частоты выше некоторого порогового значения (нормативное ограничение), а оставшийся набор высших гармонических сигналов сравнивают с сигналом основной частоты (50 или 60 Гц — в зависимости от региона) по амплитуде. Данная методика начала применяться с 1967 года в СССР, несколько раньше была взята за основу во многих странах Европы, Японии и США и используется в современной России, хорошо себя зарекомендовав. Тем не менее, ключевым недостатком данного подхода является инструментальная необходимость пренебрежения гармониками высоких частот, что в отдельных случаях может существенно влиять на значение одного из нормативных показателей — коэффициента искажения синусоидальности кривой напряжения (total harmonic distortions) — и на уровень методической погрешности. В статье предложен альтернативный подход в оценке этого показателя, базирующийся на преобразовании Лапласа, чья математическая основа не требует пренебрежения никакими гармоническими составляющими для практического применения. Проведено математическое моделирование, подтверждающее адекватность предложенной методики, и рассмотрено влияние основных факторов на методическую погрешность традиционного и альтернативного подхода.
